2012-2013学年河南省平顶山市宝丰一高高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

根据导数的定义f'（x₁）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

y=x²sinx，则y′=（ ）
A．2xsin
B．x²cos
C．2xcosx+x²cos
D．2xsinx+x²cos

3. 难度：中等

设f（x）=xlnx，若f′（x）=2，则x=（ ）
A．e²
B．e
C．
D．ln2

4. 难度：中等

若f（x）=sinx-cosx，则f^′（a）等于（ ）
A．sina
B．cosa
C．sina+cosa
D．2sina

5. 难度：中等

设f（x）=ax³+3x²+2，若f′（-1）=4，则a的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知f（x）=x³+x-2在图象上点P处的切线垂直于直线x+4y=0，则P点的横坐标为（ ）
A．-1
B．±1
C．1
D．0

7. 难度：中等

函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A．（，）
B．（π，2π）
C．（，）
D．（2π，3π）

8. 难度：中等

如图所示，图中曲线方程为y=x²-1，借助定积分表达围成的封闭图形的面积（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-1]
D．（-∞，-1）

10. 难度：中等

设a∈R，若函数y=e^x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（ ）
A．a＜-1
B．a＞-1
C．
D．

11. 难度：中等

函数f（x）=-（a＜b＜1），则（ ）
A．f（a）=f（b）
B．f（a）＜f（b）
C．f（a）＞f（b）
D．f（a），f（b）大小关系不能确定

12. 难度：中等

f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

二、填空题

13. 难度：中等

函数f（x）=x²-2lnx的单调减区间是    ．

14. 难度：中等

设f（x）=|x|，则    ．

15. 难度：中等

函数y=x+2cosx在区间上的最大值是    ．

16. 难度：中等

如图是y=f（x）导数的图象，对于下列四个判断：
①f（x）在[-2，-1]上是增函数
②x=-1是f（x）的极小值点；
③f（x）在[-1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数；
④x=3是f（x）的极小值点．
其中判断正确的是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

求抛物线y²=x与直线x-y-2=0所围成的图形的面积．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的导数f′（x）；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+2ln（1-x）（a为常数）．
（1）若f（x）在x=-1处有极值，求a的值；
（2）若f（x）在[-3，-2]上是增函数，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的正整数n满足．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和B_n．

21. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0），过点离心率，
（1）求椭圆方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，试求直线l的方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（I）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]（其中为e自然对数的底数）使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求实数a的取值范围．