《第1章 解三角形》2013年单元测试卷（4）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（ ）
A．1：2：3
B．3：2：1
C．2：：1
D．1：：2

2. 难度：中等

在△ABC中，a²=b²+c²+bc，则A=（ ）
A．60°
B．45°
C．120°
D．30°

3. 难度：中等

有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）
A．1公里
B．sin10°公里
C．cos10°公里
D．cos20°公里

4. 难度：中等

等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为60°，则底边长=（ ）
A．2
B．
C．3
D．

5. 难度：中等

已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）
A．
B．＜x＜5
C．2＜x＜
D．＜x＜5

6. 难度：中等

在△ABC中，∠A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况（ ）
A．无解
B．有一解
C．有两解
D．不能确定

7. 难度：中等

在△ABC中，（a+c）（a-c）=b（b+c），则A=（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

8. 难度：中等

在△ABC中，A为锐角，lgb+lg（）=lgsinA=-lg，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

9. 难度：中等

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=60米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（ ）
A．45米
B．90米
C．90米
D．45米

10. 难度：中等

某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d₁与第二辆车与第三辆车的距离d₂之间的关系为（ ）
A．d₁＞d₂
B．d₁=d₂
C．d₁＜d₂
D．不能确定大小

二、填空题

11. 难度：中等

在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，已知，b=2，△ABC的面积S=，则C=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，||=3，||=2，与的夹角为60°，则|-|=    ．

14. 难度：中等

三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为    ．

15. 难度：中等

下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？
[题]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）B．（0，2）C.D.
[解法1]△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故选C．
[解法2]，．
△ABC有两解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故选B．
你认为    是正确的  （填“解法1”或“解法2”）

三、解答题

16. 难度：中等

a，b，c为△ABC的三边，其面积S_△ABC=12，bc=48，b-c=2，求a．

17. 难度：中等

一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，．求追击所需的时间和α角的正弦值．

18. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．

19. 难度：中等

在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C和D两个建筑物的距离，作图如下，所测得的数据为AB=50米，∠DAC=75°，∠CAB=45°，∠DBA=30°，∠CBD=75°，请你帮他们计算一下，河对岸建筑物C、D的距离？

20. 难度：中等

已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若．
（Ⅰ）求A； 
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

21. 难度：中等

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？