2012-2013学年江西省南昌三中高一（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

在边长为1的正六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆中，的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

3. 难度：中等

设，是两个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．若=，则⊥
B．若⊥，则=
C．若=，则存在实数λ，使得=λ
D．若存在实数λ，使得=λ，则=

4. 难度：中等

在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形

5. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式，其前n项和为S_n，则S₂₀₁₂等于（ ）
A．1006
B．2012
C．503
D．0

6. 难度：中等

若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

7. 难度：中等

已知S_n是等差数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，且S₆＞S₇＞S₅，有下列四个命题，假命题的是（ ）
A．公差d＜0
B．在所有S_n＜0中，S₁₃最大
C．满足S_n＞0的n的个数有11个
D．a₆＞a₇

8. 难度：中等

如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，S₄=1，S₈=3，则a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀的值是（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20

10. 难度：中等

已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=-，则λ=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量和的夹角为120°，，则=    ．

12. 难度：中等

正项等比数列中，则=    ．

13. 难度：中等

设a₁=2，，b_n=，n∈N⁺，则数列{b_n}的通项公式b_n=    ．

14. 难度：中等

在△ABC所在的平面上有一点P，满足++=，则△PBC与△ABC的面积之比是    ．

15. 难度：中等

如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a_n，则a₆=    ； =    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量．
（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．

17. 难度：中等

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b_n}中的b₃、b₄、b₅．
（I） 求数列{b_n}的通项公式；
（II） 数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n+}是等比数列．

18. 难度：中等

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项为a_n，前n项的和为S_n，且有S_n=2-3a_n．
（1）求a_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足，证明：{b_n}是等差数列；
（3）证明：．