2005-2006学年北京四中高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b∈R，则“a＞b”是“a³＞b³”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．不充分也不必要条件

2. 难度：中等

不等式x+＞2的解集是（ ）
A．（-1，0）∪（1，+∞）
B．（-∞，-1）∪（0，1）
C．（-1，0）∪（0，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

3. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．垂直于同一条直线的两条直线平行
C．四边相等的四边形是菱形
D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线

4. 难度：中等

如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么（ ）
A．a=，b=6
B．a=，b=-6
C．a=3，b=-2
D．a=3，b=6

5. 难度：中等

点P（3，0）是圆x²+y²-8x-2y+12=0内一点，过点P的弦中最短的弦所在直线方程是（ ）
A．x-y-3=0
B．x+y-3=0
C．x-y+3=0
D．x+y+3=0

6. 难度：中等

过点M（1，4）作直线l与抛物线y²=8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．0条

7. 难度：中等

双曲线8kx²-ky²=8的一个焦点是（0，3），那么k的值是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

8. 难度：中等

已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线

9. 难度：中等

若过定点M（-1，0）且斜率为k的直线与圆x²+4x+y²-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（ ）
A．0
B．
C．0
D．0＜k＜5

10. 难度：中等

已知实数x、y满足2x²+3y²=2x，则x²+y²的最大值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

11. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=BB₁=2，则异面直线AC₁和B₁C所成的角是（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

12. 难度：中等

设P（x，y）是曲线 上的点，F₁（-4，0），F₂（4，0），则（ ）
A．|PF₁|+|PF₂|＜10
B．|PF₁|+|PF₂|≤10
C．|PF₁|+|PF₂|＞10
D．|PF₁|+|PF₂|≥10

二、填空题

13. 难度：中等

若a＞0，b＞0，ab≥1+a+b，则a+b的最小值为   

14. 难度：中等

双曲线C与椭圆 有相同的焦点，且C的渐近线为x，则双曲线C的方程是    ．

15. 难度：中等

椭 上的点与直线2x-y+10=0的最大距离是    ．

16. 难度：中等

直线与抛物线y²=4x交于A、B两点，|AB|=8，则线段AB中点到y轴距离的最小值为    ．

17. 难度：中等

不等式 的解为    ．

18. 难度：中等

空间中的三条直线能确定的平面个数是    ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知抛物线y²=6x，过点P（4，1）引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线l的方程．

20. 难度：中等

已知双曲线C的离心率为，且过点（4，-）
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线C上，求证：MF₁⊥MF₂；
（3）求△F₁MF₂的面积．

21. 难度：中等

如图，四面体A-BCD中，AD⊥BD，AD⊥CD，BD⊥CD，且AD=BD=CD=2，点E是线段AB的中点．
（1）求证：DE是异面直线AB与CD的公垂线；
（2）求异面直线AB与CD间的距离；
（3）求异面直线DE与BC所成的角．

22. 难度：中等

设椭圆C的左顶点A在抛物线y²=x-1上滑动，长轴长为4，左准线为y轴．
（1）求椭圆中心的轨迹方程；
（2）求椭圆离心率的最大值及此时椭圆的方程．