2010-2011学年湖南省衡阳八中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x+y=0，x，y∈R}，B={（x，y）|x-y=0，x，y∈R}，则集合A∩B的元素个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

特称命题“∃x∈R，使x²+1＜0”的否定可以写成（ ）
A．若x∉R，则x²+1≥0
B．∃x∉R，x²+1≥0
C．∀x∈R，x²+1＜0
D．∀x∈R，x²+1≥0

3. 难度：中等

下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y）”的是（ ）
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．二次函数

4. 难度：中等

α是第四象限角，，则sinα=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=4^x-2^x，（x∈R）的值域是（ ）
A．（-∞，+∞）
B．
C．
D．（0，+∞）

6. 难度：中等

函数y=x+cosx的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数y=xlnx，则其在点x=1处的切线方程是（ ）
A．y=2x-2
B．y=2x+2
C．y=x-1
D．y=x+1

8. 难度：中等

已知函数，若f（6-a²）＞f（a）则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-3）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（3，+∞）
C．（-3，2）
D．（-2，3）

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（1-x），则其定义域为：    ．

10. 难度：中等

若不等式x²+2x-6≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是    ．

11. 难度：中等

已知x+y=，则x²+y²的值是：    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=cos⁴x-sin⁴x，则其最小正周期为：    ．

13. 难度：中等

设实数，，，则a，b，c三数由小到大排列是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A 为f（x）的保值区间．若g（x）=x-ln（x+m）的保值区间是[2，+∞），则m的值为    ．

15. 难度：中等

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：
①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）
②f（-5）=-1；
③当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有＞0则
（1）f（2009）=    ；
（2）若方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数
（1）求函数f（x）在[-π，0]上的单调区间；
（2）已知角α满足，，求f（α）的值．

17. 难度：中等

已知p：f'（x）是的导函数，且f'（a）＜0；q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={ x|x＞0}，且A∩B=∅．求实数a的取值范围，使“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（wx+φ），（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-6，]时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x的值．

19. 难度：中等

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

20. 难度：中等

设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x-2sinx．求证：y=x+2为曲线f（x）的“上夹线”．
（Ⅱ）观察下图：

根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并给出证明．

21. 难度：中等

己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），两点，AB中点为C（x，0），求证：f′（x）＜0．