2010-2011学年湖南省常德一中高三（下）第七次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a是实数，（a-i）（1+i）是纯虚数（i是虚数单位），则a=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．-

2. 难度：中等

设条件p：a＞0；条件q：a²+a≥0，那么p是q的什么条件（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．非充分非必要条件

3. 难度：中等

若回归直线=a+bx，b＜0，则x与y之间的相关系数（ ）
A．r=0
B．r=l
C．0＜r＜1
D．-1＜r＜0

4. 难度：中等

直线：3x-4y-9=0与圆：，（θ为参数）的位置关系是（ ）
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交但直线不过圆心

5. 难度：中等

若双曲线过点（m，n）（m＞n＞0），且渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点（ ）
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在x轴或y轴上
D．无法判断是否在坐标轴上

6. 难度：中等

若，且，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

7. 难度：中等

在△ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg，并且B为锐角，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，设f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*），若集合M={x∈R|f₂₀₀₉（x）=2x+}，则集合M中的元素个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．无穷多个

二、填空题

9. 难度：中等

已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2，4]，则第二试点x₂应选在    处．

11. 难度：中等

向面积为9的△ABC内任投一点P，那么△PBC的面积小于3的概率是    ．

12. 难度：中等

为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为    ．

13. 难度：中等

如图，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是    （填出所有可能的序号）．

14. 难度：中等

直线y=kx-与圆x²+y²=2相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），k的值为    ．

15. 难度：中等

方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=有唯一不动点，且x₁=1000，x_n+1=（n∈N^*），则x₂₀₁₁=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，，α，β∈（0，π）
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求函数的最大值．

17. 难度：中等

某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	①	0.350
第3组	[170，175）	30	②
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185）	10	0.100
合计		100	1.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

18. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）求凸多面体ABCDE的体积．

19. 难度：中等

已知动点P到定点的距离与点P到定直线l：的距离之比为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若，求|MN|的最小值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列的前n项和为S_n，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知a∈R，函数，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．