2008-2009学年陕西师大附中高二（下）期末数学试卷（选修2-1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若命题p的否命题是命题q，命题q的逆命题是命题r，则r是¬p的（ ）
A．原命题
B．逆命题
C．否命题
D．逆否命题

2. 难度：中等

如图，棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁在空间直角坐标系中，若E，F分别是BC，DD₁中点，则的坐标为（ ）

A．（1，2，-1）
B．（-1，2，-1）
C．（1，-2，-1）
D．（-1，-2，1）

3. 难度：中等

若A，B是椭圆16x²+25y²=400与y轴的两个交点，C，D是该椭圆的两个焦点，则以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为（ ）
A．60
B．48
C．30
D．24

4. 难度：中等

若都是单位向量，且它们两两的夹角均为60°，则向量与向量的夹角为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．180°

5. 难度：中等

经过抛物线y=2x²的焦点，且倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．2x+2y-1=0
B．4x+4y-1=0
C．8x+8y-1=0
D．16x+16y-1=0

6. 难度：中等

与双曲线3x²-y²=3的焦点相同且离心率互为倒数的椭圆方程为（ ）
A．3x²+y²=3
B．x²+3y²=3
C．3x²+4y²=48
D．4x²+3y²=48

7. 难度：中等

若A是圆x²+y²=16上的一个动点，过点A向y轴作垂线，垂足为B，则线段AB中点C的轨迹方程为（ ）
A．x²+2y²=16
B．x²+4y²=16
C．2x²+y²=16
D．4x²+y²=16

8. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（ ）
A．；
B．
C．
D．

9. 难度：中等

“mn＞0”是“mx²+ny²=mn为椭圆”的（ ）条件．
A．必要不充分
B．充分不必要
C．充要
D．既不充分又不必要

10. 难度：中等

若双曲线的两条渐近线方程为x-2y=0和x+2y=0，且该双曲线还经过点，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

二、填空题

11. 难度：中等

若点A（1，2，3），B（-3，2，7），且，则点C的坐标为    ．

12. 难度：中等

若A，B是双曲线8x²-y²=8的两焦点，点C在该双曲线上，且△ABC是等腰三角形，则△ABC的周长为    ．

13. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值为    ．

14. 难度：中等

若A，B均在抛物线y²=-8x上，点O为坐标原点，且OA⊥OB，则直线AB一定会经过点    ．

三、解答题

15. 难度：中等

若m²-4n≥0，且x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的两实根，则“m＞4且n＞4”是“x₁＞2且x₂＞2”的什么条件？并说明理由．

16. 难度：中等

如图，已知定点A（2，0）及抛物线y²=x，点B在该抛物线上，若动点P使得，求动点P的轨迹方程．

17. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，AB=AC=3，AP=4，PA⊥面ABC，∠BAC=90°，D是PA中点，点E在BC上，且BE=2CE，
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求直线DE与PC夹角θ的余弦值；
（3）求点A到平面BDE的距离d的值．

18. 难度：中等

如图，椭圆的两顶点为，B（0，1），该椭圆的左右焦点分别是F₁，F₂．
（1）在线段AB上是否存在点C，使得CF₁⊥CF₂？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设过F₁的直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF₂面积的最大值．