2007-2008学年四川省成都十八中高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

2. 难度：中等

已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
B．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D．m∥n，n⊥α⇒m⊥α

3. 难度：中等

若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（ ）
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

4. 难度：中等

若k∈R，则“k＞3”是“方程-=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点H是△A₁BD的垂心
B．AH垂直平面CB₁D₁
C．AH的延长线经过点C₁
D．直线AH和BB₁所成角为45°

6. 难度：中等

直线过点（0，2），且被圆x²+y²=4截得的弦长为2，则此直线的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1或a＞24
B．a=7或a=24
C．-7＜a＜24
D．-24＜a＜7

8. 难度：中等

以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A．x²+y²-10x+9=0
B．x²+y²-10x+16=0
C．x²+y²+10x+16=0
D．x²+y²+20x+9=0

9. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则的值是（ ）
A．3
B．-3
C．12
D．-12

10. 难度：中等

两双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁+e₂的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．4

11. 难度：中等

设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

点P（-3，1）在椭圆=1（a＞b＞0）的左准线上．过点P且方向为=（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=6，则|AB|=    ．

14. 难度：中等

如图，P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，且，则点P到该椭圆左准线的距离为     ．

15. 难度：中等

已知双曲线的离心率的取值范围是，则两渐近线夹角的取值范围是    ．

16. 难度：中等

图是正方体平面展开图，在这个正方体中
①BM与ED垂直；  ②DM与BN垂直．
③CN与BM成60°角；④CN与BE是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知椭圆与过点A（2，0），B（0，1）的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率，求椭圆方程．

18. 难度：中等

如图所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，AD=2a，与底面ABCD成30角．若AE⊥PD，E为垂足，PD与底面成30°角．
（1）求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成的角的大小．

19. 难度：中等

如图，PA、PB、PC两两垂直，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且CE=BC，F是PB上的一点，且PF=PB
（1）求证：GE||平面PAC；
（2）求证：GF⊥平面PBC．

20. 难度：中等

某药店为了促销某种新药，计划在甲、乙两电视台做总时间不超过30分钟的广告，广告总费用不超过8000元，甲、乙电视台的收费标准分别为400元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两电视台为该药店所做的每分钟广告能给药店带来的收益分别为3000元和2000元，问该药店如何分配在甲、乙两电视台的广告时间，才能使药店的收益最大，最大收益多少？

21. 难度：中等

设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线交于两点A、B且OA⊥OB（O为原点）．
（1）求此双曲线的标准方程； 
（2）求|AB|的长度．

22. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x轴的交点为M，．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过左焦点F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，若，求椭圆的方程．

23. 难度：中等

已知圆的圆心为M，圆（x-2）²+y²=的圆心为N，一动圆与这两圆都外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若过点N的直线l与（1）中所求轨迹有两交点A、B，求的取值范围．

24. 难度：中等

已知双曲线C的中心在原点，抛物线y²=8x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点C（）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左顶点为A，右焦点为F，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并证明你的结论．