2012-2013学年安徽省合肥168中学等联谊校高三（上）第二次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，则复数（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

命题：“对任意x∈R，都有x²+1＞2x”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，使得x²+1＞2
B．存在x∈R，使得 x²+1＞2
C．不存在 x∈R，使得x²+1≤2
D．存在 x∈R，使得x²+1≤2

3. 难度：中等

已知集合，则A∩B=（ ）
A．[2，+∞）
B．[2，3）∪（3，+∞）
C．（1，+∞）
D．[1，3）∪（3，+∞）

4. 难度：中等

已知向量、满足||=2，且向量在向量方向上的投影为1，则的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

5. 难度：中等

，是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且=4+2，=3+4，则△OAB的面积等于（ ）
A．15
B．10
C．7.5
D．5

6. 难度：中等

设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（ ）
A．f（1）与f（-1）
B．f（-1）与f（1）
C．f（-2）与f（2）
D．f（2）与f（-2）

7. 难度：中等

函数的图象如图所示，•=（ ）

A．8
B．-8
C．
D．

8. 难度：中等

若，则tanx=（ ）
A．
B．3
C．
D．

9. 难度：中等

若函数f（x）=msinx+ncosx（mn≠0）的最小值为，且，则f（0）的值为（ ）
A．-1
B．-2
C．1
D．2

10. 难度：中等

已知α，β为锐角△ABC的两个内角，α≠β，可导函数f（x）满足xf'＜f（x），则（ ）
A．cosβf（sinα）=sinαf（cosβ）
B．cosβf（sinα）＜sinαf（cosβ）
C．cosβf（sinα）＞sinαf（cosβ）
D．cosβf（sinα）≥sinαf（cosβ）

二、填空题

11. 难度：中等

已知函数，则f（2012）=    ．

12. 难度：中等

若函数f（x）=x（x-a）²在x=2处取得极小值，则a=    ．

13. 难度：中等

观察下列各式：
①；
②；
③；
④；
归纳推出一般结论为    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=15，且a_n+1-a_n=2n，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=4，若点D为边BC的中点，P为△ABC的外心，给出下列数量积：
①•；
②•；
③•；
④•；
⑤•；
其中其中数量积为定值的序号是    ．（请填上所有正确的结论的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期及递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在上值域．

17. 难度：中等

在△ABC中
（Ⅰ）若点M在边BC上，且，求证：；
（Ⅱ）若点P是△ABC内一点，连接BP、CP并延长交AC、AB于D、E两点，使得AD：AC=AE：EB=1：2，若满足，求x，y的值．

18. 难度：中等

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S_n，若a₃是a₁、a₉的等比中项，且S₅=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前n项和Tn，求证：T_n＜2．

19. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，f′（B）=3且a+c=2，求边长b的最小值．

20. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的边长分别为a、b、c，S为△ABC的面积．
（Ⅰ）若4S=a²+b²-c²，求角C；
（Ⅱ）若，试判断△ABC的形状．

21. 难度：中等

已知函数为实数）
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（Ⅱ）若方程F（x）=f（x）-g（x）=0在区间[1，e²]上有解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知，求证：数列{a_n}的前n项和．