2008-2009学年浙江省杭州二中高三（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知b+5i=9-a+ai（a，b∈R），则b=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

2. 难度：中等

命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的逆否命题是（ ）
A．若a-1≤b-1，则a≤b
B．若a＜b，则a-1＜b-1
C．若a-1＞b-1，则a＞b
D．若a≤b，则a-1≤b-1

3. 难度：中等

以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为（ ）
A．（x-2）²+（y+1）²=3
B．（x+2）²+（y-1）²=3
C．（x-2）²+（y+1）²=9
D．（x+2）²+（y-1）²=3

4. 难度：中等

函数的图象中相邻的两条对称轴之间的距离是（ ）
A．5π
B．2π
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=2^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

+2的化简结果是（ ）
A．4cos4-2sin4
B．2sin4
C．2sin4-4cos4
D．-2sin4

7. 难度：中等

如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，则平面ACD₁截球O的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

从正方体的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条直线是异面直线的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设a，b，m为正整数，若a和b除以m的余数相同，则称a和b对m同余．记作a≡b（bmodm），已知a=C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰，b≡a（mod10），则b的值可以是（ ）
A．2007
B．2008
C．2009
D．2010

10. 难度：中等

已知C为线段AB上一点，为直线AB外一点，满足，，，I为PC上一点，且，则的值为（ ）

A．
B．2
C．
D．0

二、填空题

11. 难度：中等

定义集合A*B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+a|x|+a²-3（a∈R）的零点有且只有一个，则a=    ．

13. 难度：中等

如图所示算法程序框图中，令a=tan315°，b=sin315°，c=cos315°，则输出结果为    ．

14. 难度：中等

设{a_n}是正项等比数列，令S_n=lga₁+lga₂+…+lga_n，n∈N^*，若存在互异的正整数m，n，使得S_m=S_n，则S_m+n=    ．

15. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则s的取值范围是     ．

16. 难度：中等

一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为V₁，圆柱的体积为V₂，且V₁=kV₂，则k_min=    ．

17. 难度：中等

集合S={1，2，3，…，20}的4元子集T={a₁，a₂，a₃，a₄}中，任意两个元素的差的绝对值都不为1，这样的4元子集T的个数为    ． （用数字作为答案）

三、解答题

18. 难度：中等

一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，用随机变量ξ表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．
（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；
（Ⅱ）求ξ的分布列与期望．

19. 难度：中等

如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小．

20. 难度：中等

数列a_n中，a₁=t，a₂=t²，其中是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）证明：数列a_n+1-a_n是等比数列；
（2）求a_n．

21. 难度：中等

已知抛物线x²=4y及定点P（0，8），A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP？证明你的结论．

22. 难度：中等

设f（x）=x³-ax²-bx-c，x∈[-1，1]，记y=|f（x）|的最大值为M．
（Ⅰ）当时，求M的值；
（Ⅱ）当a，b，c取遍所有实数时，求M的最小值．
（以下结论可供参考：对于a，b，c，d∈R，有|a+b+c+d|≤|a|+|b|+|c|+|d|，当且仅当a，b，c，d同号时取等号）