2009-2010学年吉林省长春十一中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设直线x-y+a=0与圆x²+y²=2相切，则a=（ ）
A．±4
B．
C．±2
D．

2. 难度：中等

抛物线y²=-4x的焦点坐标为（ ）
A．（0，-2）
B．（-2，0）
C．（0，-1）
D．（-1，0）

3. 难度：中等

抛物线y=4x²上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．0

4. 难度：中等

F₁，F₂为椭圆的两个焦点，过F₂作椭圆的弦AB，若△AF₁B的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知直线l₁：y=xsinα和直线l₂：y=2x+c，则直线l₁与l₂（ ）
A．通过平移可以重合
B．不可能垂直
C．可能与x轴围成等腰直角三角形
D．通过绕l₁上某点旋转可以重合

6. 难度：中等

命题：“∀x∈R，x²-x+2≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²-x+2≥0
B．∀x∈R，x²-x+2≥0
C．∃x∈R，x²-x+2＜0
D．∀x∈R，x²-x+2＜0

7. 难度：中等

双曲线两焦点为F₁，F₂，点P在双曲线上，直线PF₁，PF₂倾斜角之差为，则△PF₁F₂面积为
（ ）
A．16
B．32
C．32
D．42

8. 难度：中等

二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2]
B．（1，2）
C．[2，+∞）
D．（2，+∞）

11. 难度：中等

已知抛物线y=-x²+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）
A．3
B．4
C．
D．

12. 难度：中等

如图过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（ ）

A．y²=
B．y²=9
C．y²=
D．y²=3

二、填空题

13. 难度：中等

椭圆的短轴长是2，一个焦点是，则椭圆的标准方程是    ．

14. 难度：中等

设A、B是抛物线y²=x上的两点，O为原点，且OA⊥OB，则直线AB必过定点    ．

15. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率e=    ．

16. 难度：中等

已知两个点M（-3，0）和N（3，0），若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=10，则称该直线为“A型直线”，则下列直线
①x=6②y=-5③y=x④y=2x+1中为“A型直线”的是     （填上所有正确结论的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

F₁，F₂为双曲线的左右焦点，过 F₂作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若∠PF₁F₂=30°，求双曲线的渐近线方程．

18. 难度：中等

过Q（4，1）作抛物线y²=8x的弦AB，若弦恰以Q为中点，求AB所在直线的方程．

19. 难度：中等

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

20. 难度：中等

已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且|AF|+|BF|=8，线段AB的中垂线恒过定点Q（6，0），求此抛物线的方程．

21. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF₁•PF₂的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．