2009-2010学年湖南师大附中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“函数f（x）=mx+1在R上是增函数”是“3m-4≥0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

3. 难度：中等

已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（1，+∞）

5. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

6. 难度：中等

如果圆柱的底面直径和高相等，且圆柱的侧面积是4π，则圆柱的体积等于（ ）
A．
B．4π
C．
D．2π

7. 难度：中等

2sin45°cos15°-的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．1

8. 难度：中等

对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD-EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（ ）

A．4
B．8
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若复数z=（m²+2m-3）+（m-1）i是纯虚数，则实数m的值为    ．

10. 难度：中等

设抛物线x²=12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=    ．

11. 难度：中等

CD是锐角△ABC的边AB上的高，且=1，则∠A+∠B=    ．

12. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l的距离是    ．

13. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）=，则f（3）=    ．

14. 难度：中等

设a＞0为常数，若对任意正实数x，y不等式（x+y）（）≥9恒成立，则a的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知集合M={1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合A的累积值为n．
（1）若n=3，则这样的集合A共有    个；（2）若n为偶数，则这样的集合A共有    个．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；
（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．

17. 难度：中等

如图所示的是高二某班60名同学参加学业水平会考所得化学成绩（成绩均为整数）整理后画出的频率分布直方图，求该班会考及格（60分以上）的同学的人数．

18. 难度：中等

在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值．

19. 难度：中等

某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少20%．估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%．
（Ⅰ）设第n年（2010年为第一年）的投入资金为a_n万元，投资回报收入为b_n万元，求a_n和b_n的表达式；
（Ⅱ）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入？

20. 难度：中等

设双曲线，点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点，点F₁、F₂分别为双曲线C的左、右焦点，点M、N是双曲线C的右支上不同两点，点Q为线段MN的中点．已知在双曲线C上存在一点P，使得．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率；
（Ⅱ）设a为正常数，若点Q在直线y=2x上，求直线MN在y轴上的截距的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且，x₂x₃=6，，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若，3a＞2c＞2b，求证：导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f'（x）的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围．