2010-2011学年江苏省南京27中高三（上）学情分析数学试卷（13）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合p={x|x＜1}，集合Q={x|＜0}，则P∩Q=    ．

2. 难度：中等

若复数z（1-i）=a+3i（i是虚数单位，a是实数），且（为z的共轭复数），则a=    ．

3. 难度：中等

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂=4，S₄=20，则该数列的公差d=    ．

4. 难度：中等

在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为     ．

5. 难度：中等

如图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为    ；方差为    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是     ．

7. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的准线与双曲线交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是     ．

8. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是    ．

9. 难度：中等

若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=    ．

10. 难度：中等

已知函数若f（x）=2，则x=    ．

11. 难度：中等

已知平面上三点A、B、C满足||=2，||=1，||=，则•+•+•的值等于    ．

12. 难度：中等

设函数f（x）=x-lnx，则y=f（x）    ．（填写正确命题的序号）
①在区间（，1），（1，e）内均有零点； ②在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点；
③在区间（，1），（1，e）内均无零点； ④在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点．

13. 难度：中等

一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是这个长方体对角线的长是    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）=a^x-x-a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量=（a+c，b-a），=（a-c，b），且．
（1）求角C的大小；
（2）若，求角A的值．

16. 难度：中等

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积．

17. 难度：中等

已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其内部所覆盖．
（1）试求圆C的方程．
（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．

18. 难度：中等

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n为数列{c_n}的前n项和．求证：．

19. 难度：中等

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

20. 难度：中等

已知函f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值．