2010-2011学年广东省广州六中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某房间有四个门，甲要各进、出这个房间一次，不同的走法有多少种？（ ）
A．12
B．7
C．16
D．64

2. 难度：中等

设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（ ）
A．ad-bc=0
B．ac-bd=0
C．ac+bd=0
D．ad+bc=0

3. 难度：中等

若f（x）=sinα-cosx，则f′（α）等于（ ）
A．cosα
B．sinα
C．sinα+cosα
D．2sinα

二、填空题

4. 难度：中等

下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量a的性质||²=²类比得到复数z的性质|z|²=z²；
③方程ax²+bx+c=0（a，b，c⊆R）有两个不同实数根的条件是b²-4ac＞0可以类比得到：方程az²+bz+c=0（a，b，c⊆C）有两个不同复数根的条件是b²-4ac＞0；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比错误的是    ．

三、选择题

5. 难度：中等

积分=（ ）
A．
B．
C．πa²
D．2πa²

6. 难度：中等

函数y=cos2x在点处的切线方程是（ ）
A．4x+2y+π=0
B．4x-2y+π=0
C．4x-2y-π=0
D．4x+2y-π=0

7. 难度：中等

甲、乙、丙3人承担6项新产品的设计任务，甲承担其中1项，乙承担其中2项，丙承担其中3项．则不同的承担方式的种数共有（ ）
A．C₆¹C₅²C₃³
B．C₆¹+C₅²+C₃³
C．A₆¹A₅²A₃³
D．A₆¹+A₅²+A₃³

8. 难度：中等

在R上可导的函数f（x）=，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

四、填空题

9. 难度：中等

设i为虚数单位，则的虚部是    ．

10. 难度：中等

从1=1²，2+3+4=3²，3+4+5+6+7=5²中，可得到一般规律为    ．（用数学表达式表示）

11. 难度：中等

用四种不同的颜色去涂如图所示的四块区域，要求相邻的两块颜色不相同，那么，不同的涂色方法种数是    ．

12. 难度：中等

函数y=x³-x²-x的单调增区间为    ．

13. 难度：中等

已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t所走的路程为    ．

14. 难度：中等

半径为r的圆的面积S（r）=πr²，周长C（r）=2πr，若将r看作（0，+∞）上的变量，则（πr²）′=2πr①．
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于①的式子②：    ，②式可以用语言叙述为：    ．

五、解答题

15. 难度：中等

已知函数y=ax³+bx²，当x=1时，有极大值3．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y的极小值．

16. 难度：中等

4个男同学，3个女同学站成一排，下列情况下有多少种不同的排法？
（1）3个女同学必须排在一起；
（2）任何两个女同学彼此不相邻；
（3）女同学从左到右按高矮顺序排．

17. 难度：中等

已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°=sin²5°+sin²65°+sin²125°=sin²12°+sin²72°+sin²132°=
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明．

18. 难度：中等

如图，点P为斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱BB₁上一点，PM⊥BB₁交AA₁于点M，PN⊥BB₁交CC₁于点N．
（1）求证：CC₁⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1），
（1）证明：a_n≥2ⁿ-1（n∈N^*）
（2）试比较+…+与1的大小，并说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=+af'（x）（x≠0）
（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线y=与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积．