2007-2008学年北京五中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

2. 难度：中等

已知函数f（n）=其中n∈N，则f（8）等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．7

3. 难度：中等

函数f（x）=log_a|x+b|是偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，则f（b-2）与f（a+1）的大小关系为（ ）
A．f（b-2）=f（a+1）
B．f（b-2）＞f（a+1）
C．f（b-2）＜f（a+1）
D．不能确定

4. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，其公比q≠1，且b_i＞0（i=1，2，3，…），若a₁=b₁，a₁₁=b₁₁，则（ ）
A．a₆=b₆
B．a₆＞b₆
C．a₆＜b₆
D．a₆＞b₆或a₆＜b₆

5. 难度：中等

数列{a_n}、{b_n}满足a_n•b_n=1，a_n=n²+3n+2，则{b_n}的前10项之和等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的值域是[-1，1]
B．当且仅当时，f（x）取最大值1
C．函数f（x）是以2π为最小正周期的周期函数
D．当且仅当（k∈Z）时，f（x）＜0

7. 难度：中等

若向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则a与b一定满足（ ）
A．a与b的夹角等于α-β
B．（a+b）⊥（a-b）
C．a∥b
D．a⊥b

8. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数为f′（x）=2+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，则实数x的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则下列命题：
①M的元素都不是P的元素       
②M的元素不都是P的元素
③M中有P的元素               
④存在x∈M，使得x∉P
其中真命题的序号是    （将你认为正确的命题的序号都填上）

10. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的减函数，其图象经过点A（-4，1）和B（0，-1），函数f（x）的反函数是f^-1（x），则f^-1（1）的值为    ，不等式|f（x-2）|＜1的解集为    ．

11. 难度：中等

在如图的表格，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c值为    ．

1		2
		1
		a
			b
				c

12. 难度：中等

已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a=1，∠B=45°，△ABC的面积S=2，那么△ABC的外接圆的直径等于     ．

13. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上单调递增，则a的最大值为     ．

14. 难度：中等

函数f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足，且f（1）=1，在每一个区间（i=1，2，3，…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分，记直线，，x轴及函数y=f（x）的图象围成的梯形面积为a_n（n=1，2，3，…），则数列{a_n}的通项公式为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（θ+x）+sin（θ-x）-2sinθ，，且，若对任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求cosθ的值．

16. 难度：中等

解关于x的不等式ax³+ax²+x≥0．

17. 难度：中等

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，点E是SC上任意一点．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（Ⅲ）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．

18. 难度：中等

已知一次函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f（1）=0，若点（n∈N^*）在C上，a₁=1，当n≥2时，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求．

19. 难度：中等

设关于x的方程2x²-ax-2=0的两根为α、β（α＜β），函数．
（1）求f（α）、f（β）的值；
（2）证明f（x）是[α，β]上的增函数；
（3）当α为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？

20. 难度：中等

如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列
（1）若a²，b²，c²成等差数列，证明b+c，c+a，a+b成调和数列；
（2）设S_n是调和数列的前n项和，证明对于任意给定的实数N，总可以找到一个正整数m，使得当n＞m时，S_n＞N．