2009-2010学年湖南省长沙一中高三（下）第六次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-1≤x≤1，x∈N}，B={-1，0，1}，集合C满足A∪C=B，则集合C的个数是（ ）
A．1
B．4
C．7
D．8

2. 难度：中等

直线l：ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（ ）
A．1
B．-1
C．-2或-1
D．-2或1

3. 难度：中等

一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A．3
B．
C．2
D．

4. 难度：中等

已知等比数列中{a_n}中，a₁+a₃=101，前4项和为1111，令b_n=lg a_n，则b₂₀₀₉=（ ）
A．2008
B．2009
C．2010
D．2222

5. 难度：中等

12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A．C₈²A₃²
B．C₈²A₆⁶
C．C₈²A₆²
D．C₈²A₅²

6. 难度：中等

如图，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，若BC=CA=CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

①点P在△ABC所在的平面内，且；②点P为△ABC内的一点，且使得取得最小值；③点P是△ABC所在平面内一点，且，上述三个点P中，是△ABC的重心的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

设函数y=f （x）是定义域为R的奇函数，且满足f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f （x）=x³，则下列四个命题：
①f（x）是以4为周期的周期函数．
②f（x）在[1，3]上的解析式为f （x）=（2-x）³．
③f（x）在处的切线方程为3x+4y-5=0．
④f（x）的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④

二、填空题

9. 难度：中等

直线l₁：y=mx+1，直线l₂的方向向量为=（1，2），且l₁⊥l₂，则m=    ．

10. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是底面A₁B₁C₁D₁的中心，则O到平面ABC₁D₁的距离为    ．

11. 难度：中等

若关于x，y的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

若不等式x²+|2x-6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是     ．

13. 难度：中等

在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为dx=    ．

14. 难度：中等

已知m、n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个互不重合的平面，给出下列命题
①若m∥β，n∥β，m，n⊂α，则α∥β
②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则m⊥n
③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β
④若n∥α，n∥β，α∩β=m，那么m∥n
其中正确命题的序号是    ．

15. 难度：中等

某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的6位数N=n₁n₂…n₅n₆，其中N的各位数字中，n₁=n₆=1，n_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记ξ=n₁+n₂+…+n₆．问ξ=4时的概率为     ，ξ的数学期望是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

6个大小相同的小球分别标有数字1，1，1，2，2，2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x，y，记ξ=x+y．
（1）求随机变量ξ分布列及数学期望．
（2）设“函数f （x）=x²-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos²x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）定义在上的值域．
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED．
（1）求证：PA⊥平面ABCD．
（2）求二面角D-AC-E的正切值．
（3）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC，若存在，指出F点位置，并证明，若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知以点C （t，）（t∈R），t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
（1）求证：△OAB的面积为定值．
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N若|OM|=|ON|，求圆C的方程．
（3）若t＞0，当圆C的半径最小且时，圆C上至少有三个不同的点到直线l：y-的距离为，求直线l的斜率k的取值范围．

20. 难度：中等

某旅游景区的观景台P位于高（山顶到山脚水平面M的垂直高度PO）为2Km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形．山坡面与脚所在水平面M所成的二面角为α（0°＜α＜90°），且sinα=．现从山脚的公路AB某处C开始修建与公路AB成β角的盘山公路CC₁，C₁C₂，C₂C₃，…C_n-1C_n（如图所示）．其中0＜β＜90°，sinβ=
（1）试问：垂直高度每升高100米，盘山公路需修建多长？若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？
（2）若修建盘山公路为xKm，其造价为万元．而修建索道的造价为2a元/Km．
问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2．
（1）试判断函数F（x）=（x²+1）f （x）-g（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）当0＜a＜b时，求证：函数f（x）定义在区间[a，b]上的值域的长度大于（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．
（3）方程f（x）=是否存在实数根？说明理由．