2009-2010学年辽宁省沈阳二中高二（下）4月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知x，y∈R，i是虚数单位，且（x-1）i-y=2+i，则（1+i）^x-y的值是（ ）
A．-4
B．4
C．-1
D．1

2. 难度：中等

函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A．（，）
B．（π，2π）
C．（，）
D．（2π，3π）

3. 难度：中等

设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ）
A．（，）
B．（，）
C．（3，）
D．（-3，）

4. 难度：中等

若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z²=-1的θ值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜2
B．-3＜a＜6
C．a＜-3或a＞6
D．a＜-1或a＞2

6. 难度：中等

在极坐标系中有如下三个结论，正确的是（ ）
①点P在曲线C上，则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程；
②tanθ=1与θ=表示同一条曲线；  ③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线．
A．③
B．①
C．②③
D．①③

7. 难度：中等

设函数f（x）=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．-1

8. 难度：中等

函数y=x³+bx²+（b+2）x+3在R上不是单调增函数，则实数b取值范围是（ ）
A．b＜-1或b＞2
B．b≤-1或b≥2
C．-2＜b＜1
D．-1≤b＜2

9. 难度：中等

m，n，p为互不相等的正数，且m²+p²=2np，则下列关系中可能成立的是（ ）
A．m＞n＞p
B．n＞p＞m
C．n＞m＞p
D．m＞p＞n

10. 难度：中等

已知函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．4
D．8

11. 难度：中等

设函数y=f（x）在定义域内的导函数为y=f′（x），y=f（x）的图象如图1所示，则y=f′（x）的图象可能为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

点P是曲线x²-y-lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值k=    ．

14. 难度：中等

已知f（n）=1+++…+（n∈N₊，n≥2），经计算得f（4）＞2，f（8），f（16）＞3，f（32），由此可推得一般性结论为    ．

15. 难度：中等

设a，b∈R，a²+2b²=6，则a+b的最大值是    ．

16. 难度：中等

已知曲线f（x）=x³+x²+x+3在x=-1处的切线恰好与抛物线y=2ax²相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交截得的线段长度为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

若|z|=1，且z²+2z+为负实数，求复数z．

18. 难度：中等

设函数f（x）=ax+2，g（x）=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r=1，Q点在圆C上运动．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若P在直线OQ上运动，且，求动点P轨迹的极坐标方程．

20. 难度：中等

假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

试求：
（1）对x与y进行线性相关性检验；
（2）如果y对x呈线性相关关系，求线性回归方程；（其中和均保留两位小数）
（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少万元？（保留两位小数）
（参考公式与数据：r=，
=，==，=90，=140.8，=4，，=1123，≈8.9，，n-2=3时，r_0.05=0.878）

21. 难度：中等

对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．