2008-2009学年北京四中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知点P是曲线y=x³+2x+1上的一点，过点P与此曲线的相切的直线l平行于直线y=2x-3，则切线l的方程是（ ）
A．
B．y=2x+1
C．y=2
D．y=2x+1或y=2

2. 难度：中等

函数f（x）的导函数为f′（x）=，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（-∞，0）
B．（1，+∞）
C．（0，1）
D．（-∞，0）∪（1，+∞）

3. 难度：中等

已知复数z=（m²-4）+（m²-m-6）i是纯虚数，则实数m=（ ）
A．±2
B．-2
C．2
D．3

4. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

5. 难度：中等

计算：∫_-2²|x³-1|dx=（ ）
A．0
B．-4
C．
D．16

6. 难度：中等

函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）

A．y=a^x
B．y=loga
C．y=xe^x
D．y=xln

7. 难度：中等

设a是实数，且是实数，则a=（ ）
A．
B．1
C．
D．2

8. 难度：中等

若上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-1]
D．（-∞，-1）

9. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

10. 难度：中等

函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示，且f（x）在x=x与x=2处取得极值，
则f（1）+f（-1）的值一定（ ）

A．等于0
B．大于0
C．小于0
D．小于或等于0

11. 难度：中等

定义在R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈R，且f（1）=2，有下面的四个式子：
①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②f[]；③n（n+1）；④n（n+1）f（1），则其中与f（1）+f（2）+…+f（n）相等的有（ ）
A．①③
B．①②
C．①②③
D．①②③④

12. 难度：中等

n个连续自然数按如下规律排成下表，根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为（ ）
03→47→811…
↓↑↓↑↓↑
1→25→69→10．
A．↓→
B．→↑
C．↑→
D．→↓

二、填空题

13. 难度：中等

计算：=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=e^2x•cosx，则f（x）的导数f′（x）=    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，，n∈N^*，则a₂，a₃，a₄的值分别为    ，由此猜想a_n=    ．

16. 难度：中等

由曲线y=1，y=4，y=x²所围成的平面图形的面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知n∈N^*，且n≥2，求证：＞．

18. 难度：中等

设函数．
（I）求f′（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间、极大值和极小值；
（Ⅲ）若x∈[a+1，a+2]时，恒有f′（x）＞-3a，求实数a的取值范围．

四、选择题

19. 难度：中等

函数f（x）的图象经过原点，且它的导函数y=f′（x）是如图所示的一条直线，则函数y=f（x）的图象的顶点在（ ）

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

20. 难度：中等

已知b_n为等比数列，b₅=2，则b₁•b₂•…•b₉=2⁹．若a_n为等差数列，a₅=2，则a_n的类似结论为（ ）
A．a₁•a₂•…•a₉=2⁹
B．a₁+a₂+…+a₉=2⁹
C．a₁•a₂•…•a₉=2×9
D．a₁+a₂+…+a₉=2×9

21. 难度：中等

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f（x）=a^x•g（x）（a＞0，a≠1）；②g（x）≠0；③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），
若+=，则使log_a^x＞1成立的x的取值范围是（ ）
A．（0，）∪（2，+∞）
B．（0，）
C．（-∞，）∪（2，+∞）
D．（2，+∞）

五、填空题

22. 难度：中等

已知复平面上的点集M={z||z-3i|=1}，N={z||z-4|=1}，点A∈M，点B∈N，则A，B两点的最短距离是    ．

23. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）=x²+x∫₁at²dt≥-1，则实数a的取值范围是    ．

24. 难度：中等

在数列{a_n}中，a_n=1+2²+3³+…+nⁿ，n∈N^*．在数列{b_n}中，b_n=cos，n∈N^*．则b₂₀₀₈-b₂₀₀₉=    ．

六、解答题

25. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）中的猜想．

26. 难度：中等

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．