2012-2013学年辽宁省沈阳市四校联考高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A={x|x＜3}，B={x|-1＜x＜5}，则A∪B等于（ ）
A．{x|x＜5}
B．{x|x≤-1或x≥3}
C．{x|x＜-1或x≥3}
D．{x|x≤5}

2. 难度：中等

下列说法中错误的个数是（ ）
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②命题“∀x∈R，x²-x≤0”的否定是“∃x∈R，x²-x≥0”；
③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；
④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件．
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

若实数x，y满足条件则z=2x-y的最大值为（ ）
A．9
B．3
C．0
D．-3

4. 难度：中等

设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，a₂=1-a₁，a₄=9-a₃，则a₄+a₅=（ ）
A．16
B．27
C．36
D．81

7. 难度：中等

下列四个命题：
①如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行．那么另一条直线也与这个平面平行；
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；
③如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行．
则真命题是（ ）
A．①②
B．②④
C．①③
D．②③

8. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

9. 难度：中等

若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在各项均不为零的等差数列{a_n}中，若a_n+1-a_n²+a_n-1=0（n≥2），则S_2n-1-4n=（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

11. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

12. 难度：中等

已知，且函数y=f（x）-2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．[-4，0]
B．[-8，+∞）
C．[-4，+∞）
D．（0，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

如图所示是一个几何体的三视图（单位：cm），则这个几何体的表面积    cm²．

14. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（x，4），且⊥，则x=    ．

15. 难度：中等

若函数y=2tanωx的最小正周期为2π，则函数y=sin的最小正周期为    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，A=30°，BC=2，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD的面积为4，则AC的长为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，-），=（cos2B，2cos²-1）且∥．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

18. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，且a₃=-6，a₆=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{b_n}满足b₁=-8，b₂=a₁+a₂+a₃，求数列{b_n}的前n项和公式．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2xsinφ+cos²xcosφ-sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，]上的最大值和最小值．

20. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2，AB=1．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²
（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x+1）lnx．
（1）求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设，对任意x∈（0，1），g（x）＜-2，求实数a的取值范围．