2008-2009学年浙江省杭州十四中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列各组向量中不平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知点A（-3，1，-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（-3，-1，4）
B．（-3，-1，-4）
C．（3，1，4）
D．（3，-1，-4）

3. 难度：中等

若向量=（1，λ，2），=（2，-1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（ ）
A．2
B．-2
C．-2或
D．2或-

4. 难度：中等

若A（x，5-x，-1），B（4，2，3），当取最小值时，x的值等于（ ）
A．-7
B．7
C．
D．

5. 难度：中等

设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1）．已知Φ（-1.96）=0.025，则P（|ξ|＜1.96）=（ ）
A．0.025
B．0.050
C．0.950
D．0.975

6. 难度：中等

若曲线y=2x²的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则切线l的方程为（ ）
A．x+4y+3=0
B．x+4y-9=0
C．4x-y+3=0
D．4x-y-2=0

7. 难度：中等

已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x-x³的极大值点的坐标为（b，c），则ad等于（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

8. 难度：中等

设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（ ）
A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）
D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）

9. 难度：中等

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c[a、b、c∈（0，1）]，已知他投篮一次得分的数学期望为1（不计其它得分情况），则ab的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知：函数f（x）的定义域为[-2，+∞），且f（4）=f（-2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则，所围成的平面区域的面积是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．8

二、填空题

11. 难度：中等

若向量，则=    ．

12. 难度：中等

计算     ．

13. 难度：中等

已知向量，若，则x=    ；若则x=    ．

14. 难度：中等

已知ξ～B（n，p），Eξ=8，Dξ=1.6，则n，p的值分别是    ，    ．

15. 难度：中等

已知曲线y=x²-1在x=x点处的切线与曲线y=1-x³在x=x处的切线互相平行，则x的值为   

16. 难度：中等

如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（5）=    ，f′（5）=    ．

17. 难度：中等

已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，，表示，则=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1时，f（x）的极大值为7；当x=3时，f（x）有极小值．求：
（1）a，b，c的值；
（2）函数f（x）的极小值．

19. 难度：中等

一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，继续再取一个零件，直到取得正品为止．设取得正品之前已取出的次品数为ξ，求ξ的分布列及ξ的期望．

20. 难度：中等

一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图．
（1）求四棱锥P一ABCD的体积：
（2）求二面角C-PB-A大小；
（3）M为棱PB上的点，当PM长为何值时，CM⊥PA？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=2x³-x²+ax+b．
（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求参数a的取值范围．
（2）若函数f（x）在x=1处取处极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜b²+b恒成立，求参数b  的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数，其中a∈R．
（1）若f（x）在x∈R时存在极值，求a的取值范围；
（2）若f（x）在上是增函数，求a的取值范围．

23. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）求二面角B-AC-D的大小．
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．