2009-2010学年江苏省南京市金陵中学高三（上）段考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x≤3}，B={x|x≥m}，A∪B=R，则满足条件的最大实数m为     ．

2. 难度：中等

函数f（x）=ln（-x²+2x+8）的定义域是     ．

3. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的实部为    ．

4. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=9，S₆=36，则a₇+a₈+a₉=    ．

5. 难度：中等

已知f（x）=（m+1）x²+（m+2）x+3是偶函数，则f（x）的值域是    ．

6. 难度：中等

已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”    条件．

7. 难度：中等

关于不重合的直线m，n和平面α，β，下列命题为真命题的是     （填写所有真命题的序号）
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n．
②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β．
③若α∩β=m，m∥n，则n∥α，n∥β；
④若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α，n⊥β．

8. 难度：中等

若角α的终边在直线y=2x上，则=    ．

9. 难度：中等

设实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是     ．

10. 难度：中等

在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是     ．

11. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M为AD的中点，则的值为     ．

12. 难度：中等

若动直线ax+by=1过点A（b，a），以坐标原点O为圆心，OA为半径作圆，则其中最小圆的面积为     ．

13. 难度：中等

椭圆M：的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆M上任一点，且PF₁•PF₂的最大值为3c²，其中c²=a²-b²，则椭圆M的离心率为     ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+2x，x∈R，若不等式f（mcosθ）+f（m-sinθ）≥0，当时恒成立，则实数m的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角B的大小．
（2）设角A的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．

16. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为棱形，∠DAB=60°，平面PCD⊥底面ABCD，E、F分别是CD、AB的中点．
（1）求证：BE⊥平面PCD．
（2）设G为棱PA上一点，且PG=2GA，求证：PC∥平面DGF．

17. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

18. 难度：中等

等差数列{a_n}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₅成等比数列，S₅=a₃²
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求证：对于任意的正整数m，l，数列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能为等比数列．
（3）若对于任意给定的正整数m，都存在正整数l，使数列a_m，a_m+l，a_m+kl为等比数列，求正常数k的取值集合．

19. 难度：中等

如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，点C在半圆弧上，半圆内△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS内部为一水池，其余地方种花，若AB=2a，∠CAB=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的边长为x，面积为S₂，将比值称为“规划合理度”．
（1）求证：．
（2）当a为定值，θ变化是，求“规划合理度”的最小值及此时角θ的大小．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+2ax-3．
（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值．
（2）若f（x），g（x）在区间[1，3]上单调性相同，求实数α的取值范围．
（3）求证：对任意的α，都有．