2009-2010学年浙江省宁波四中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²≥1}，N={y|y=3x²+1，x∈R}，则M∩N=（ ）
A．Æ
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥4}
D．{x|x≥1或x≤-1}

2. 难度：中等

已知-9，a₁，a₂，-1四个实数成等差数列，-9，b₁，b₂，b₃，-1五个实数成等比数列，则b₂（a₂-a₁）=（ ）
A．8
B．-8
C．±8
D．

3. 难度：中等

若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

函数的导数是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数f（x）=e^x+2x-5的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知实数x，y满足x²+y²+4x+3=0，则x-2y的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=是（-∞，+∞）上的递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，3）
C．[，3）
D．（1，3）

8. 难度：中等

已知直线y=-x与圆x²+y²=2相交于A，B两点，是优弧AB上任意一点，则∠APB=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

对于非零向量，，定义运算“#”：#=||•||sinθ，其中θ为，的夹角．有两两不共线的三个向量，，，下列结论：①若#=#，则=；②#=#；③若#=0，则∥；④（+）#=#+#；⑤#=（-）#．其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

函数y=f（x）的定义域为，其图象过原点且它的导函数y=f′（x）的图象是如图所示的一条直线，则（ ）

A．函数y=f（x）有最小值，且图象的最低点在第四象限
B．函数y=f（x）有最大值，且图象的最高点在第四象限
C．函数y=f（x）有最小值，且图象的最低点在第一象限
D．函数y=f（x）有最大值，且图象的最高点在第一象限

二、填空题

11. 难度：中等

直线x+1=0的倾斜角是    ．

12. 难度：中等

已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2-）•=    ．

13. 难度：中等

函数y=2sin（4x+）的图象的两条相邻对称轴间的距离为    ．

14. 难度：中等

已知0≤x≤2，则函数y=4^x-3×2^x-4的最小值    ．

15. 难度：中等

若过点A（a，a）可作圆x²+y²-2ax+a²-3=0的两条切线，则实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

若数列{a_n}（n∈N₊）为等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c_n}是等比数列且c_n＞0（n∈N₊），则有数列d_n=    （n∈N₊）也是等比数列．

17. 难度：中等

已知在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（1，3），O为原点，且，（其中α+β=1，α，β均为实数），若N（1，0），则的最小值是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，，且．
（Ⅰ） 求角A；
（Ⅱ） 若，三角形面积，求b+c的值．

19. 难度：中等

已知圆C的方程为x²+y²=4
（1）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l的方程
（2）过动点M（x，y）作圆的切线，切点为N，若|MN|=|MP|，求动点M的轨迹方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）满足2f（x）+f（）=x
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=3f（x）+，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数的取值范围．

21. 难度：中等

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）记T_n为数列的前n项和，是否存在实数a，使得不等式对∀n∈N₊恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+2x²，其中a＞0
（1）当a=3时，求过点（）且与曲线y=f（x）（x＞0）相切的直线方程
（2）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值为-2，求的值．