2012-2013学年贵州省铜仁地区铜仁市衡民中学高三（上）暑假补课摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a∈R，i为虚数单位，若是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．-1

2. 难度：中等

若集合A={3，a²}，B={2，4}，则“a=2”是“A∩B={4}”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和为（k为常数），则a₃=（ ）
A．18
B．-18
C．36
D．-36

4. 难度：中等

设，，c=0.3^0.8，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．a＜c＜b
D．b＜c＜a

5. 难度：中等

由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都不与c相邻的排法个数为（ ）
A．36
B．32
C．28
D．24

6. 难度：中等

正三棱锥P-ABC中，PA=3，AB=2，则PA与平面PBC所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若曲线在点（e，f（e））处的切线与坐标围成的面积为8e，则常数a的值是（ ）
A．e
B．2e
C．-e
D．

8. 难度：中等

在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

10. 难度：中等

函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象经过、两点，则ω的（ ）
A．最大值为3
B．最小值为3
C．最大值为6
D．最小值为6

11. 难度：中等

设x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为（ ）
A．25
B．19
C．13
D．5

12. 难度：中等

若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）-log₃|x|的零点个数是（ ）
A．多于4个
B．4个
C．3个
D．2个

二、填空题

13. 难度：中等

，，则=    ．

14. 难度：中等

设常数a＞0，展开式中x³的系数为，则=    ．

15. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AB⊥BD且2AB²+BD²-4=0，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为    ．

16. 难度：中等

设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是双曲线的左右焦点，P为双曲线上的一点，且，则此双曲线的离心率的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量．记f（x）=•
（I）若，求的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，若，试判断△ABC的形状．

18. 难度：中等

为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖．
（Ⅰ） 小丽购买了该食品3袋，求她获奖的概率；
（Ⅱ） 小明购买了该食品5袋，求他获奖的概率；
（Ⅲ） 某幼儿园有324名小朋友，每名小朋友都买了该食品5袋．记获奖的人数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=，AB=，PA=PD=1．
（I）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ）求二面角C-PA-D的大小．

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=0，a₂=2，且当n≥2时，数列{a_n}的前n项和S_n满足．
（I）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）令，Q_n是数列{P_n}的前n项和，求证：Q_n＜2n+3．

21. 难度：中等

如图，F₁、F₂分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若F₁（-1，0），且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数．
（I）当0＜a＜1且，f′（1）=0时，求f（x）的单调区间；
（II）已知且对|x|≥2的实数x都有f'（x）≥0．若函数y=f′（x）有零点，求函数y=f（x）与函数y=f′（x）的图象在x∈（-3，2）内的交点坐标．