2010-2011学年湖南省衡阳八中高三（上）第五次月考数学试卷（文科） （解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

幂函数y=f（x）的图象经过点（，4），则f（）的值为（ ）
A．1
B．4
C．9
D．16

2. 难度：中等

若集合A{0，m²}，B={1，2}，则“m=1”是“A∪B={0，1，2}”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

如图，下列四个几何体中，它们的三视图（正视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同的是（
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（3）
D．（1）（4）

4. 难度：中等

在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形

5. 难度：中等

已知曲线C的参数方程是（θ为参数），曲线C不经过第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2
B．a＞3
C．a≥1
D．a＜0

6. 难度：中等

定义在[-2，2]的函数满足f（-x）=-f（x），且在[0，2]上是增函数，若f（1-m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．＜m≤2
B．-1≤m≤3
C．-1≤m＜
D．m＞

7. 难度：中等

已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（ ）
A．有最大值e
B．有最大值
C．有最小值e
D．有最小值

8. 难度：中等

已知双曲线C：x²-=1（b＞0），过点M（1，1）作直线l交双曲线C于A、B两点，使得M是线段AB的中点，则实数b取值范围为（ ）
A．（1，）
B．（-1，0）∪（0，1）
C．（0，1）
D．（1，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

已知：||=1，||=2，＜，＞=60°，则||=    ．

10. 难度：中等

已知抛物线C：y=x²，则抛物线C准线方程为：    ．

11. 难度：中等

某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=    ．

12. 难度：中等

函数y=sinx+cosx在[0，π]上的单调增区间是：    ．

13. 难度：中等

直线y=kx+1与曲线y=x³+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为     ．

14. 难度：中等

（理）由曲线y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V₁；满足x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V₂，试写出V₁与V₂的一个关系式V₁：V₂=    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项．
（1）若a₁=4，则d的取值集合为    ；
（2）若a₁=2^m（m∈N^*），则d的所有可能取值的和为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，．
（1）求cosA和cos2A的值；
（2）若，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示，
（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AD=2PA，E、F分别是PB、PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求直线CE与直线PD所成角的余弦值．

19. 难度：中等

已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：

	甲	乙	丙
维生素A（单位/kg）	60	70	40
维生素B（单位/kg）	80	40	50
成本（元/kg）	11	9	4

现分别用甲、乙、丙三种食物配成10kg混合食物，并使混合食物内至少含有560单位维生素A和630单位维生素B．
（1）若混合食物中恰含580单位维生素A和660单位维生素B，求混合食物的成本为多少元？
（2）分别用甲、乙、丙三种食物各多少千克，才能使混合食物的成本最低？最低成本为多少元？

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n且对任意正整数n总有S_n=p（a_n-1）（p为常数，且p≠0，p≠1），数列{b_n}满足
b_n=kn+q（q为常数）
（1）求数列{a_n}的首项a₁及通项公式（用p表示）；
（2）若恰好存在唯一实数p使得a₁=b₁，a₃=b₃，求实数k的取值的集合．

21. 难度：中等

已知椭圆和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．