2010-2011学年黑龙江省哈尔滨九中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

命题甲：向量共线，命题乙：向量所在的直线平行．则甲是乙的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

与命题“若a∈M则b∉M”的等价的命题是（ ）
A．若a∉M，则b∉M
B．若b∉M，则a∈M
C．若a∉M，则b∈M
D．若b∈M，则a∉M

4. 难度：中等

已知椭圆的焦点分别为F₁，F₂，b=4，离心率，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF₂的周长为（ ）
A．10
B．12
C．16
D．20

5. 难度：中等

若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6只有一个交点，那么实数k的值是（ ）
A．
B．
C．±1
D．

6. 难度：中等

若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；
②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；
③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．
其中正确的命题有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

7. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

8. 难度：中等

已知抛物线C的方程为x²=y，过点A（0，-1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（1，+∞）
B．（-∞，-）∪（，+∞）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-）∪（，+∞）

9. 难度：中等

设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不确定

10. 难度：中等

二面角α-l-β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，
AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=α，BD=2a，则CD的长为（ ）

A．2a
B．a
C．a
D．a

11. 难度：中等

直线y=x-3与抛物线y²=4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（ ）
A．48
B．56
C．64
D．72

12. 难度：中等

有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（1，）
C．（，）
D．（0，）

二、填空题

13. 难度：中等

命题“∃x≥1，2^x≤0”的否定是    ．

14. 难度：中等

双曲线mx²+y²=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=    ．

15. 难度：中等

已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若=，则x+y+z=    ．

16. 难度：中等

关于x的方程x²-2x-a+2=0有实数根的一个必要不充分条件为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

一个多面体的直观图和三视图如图所示，E，F分别为PB，PC中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E-ABC的体积．

18. 难度：中等

命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x²-x-6≤0或x²+2x-8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．

19. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．
（1）求证：EF⊥平面BCE；
（2）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：P M∥平面BCE；
（3）求二面角F-BD-A的余弦值．

20. 难度：中等

已知抛物线C：y=ax²（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为L．
（1）求F的坐标；
（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？

21. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为．
（1）证明：AE⊥PD；
（3）求异面直线PB与AC所成的角的余弦值；
（4）若AB=2，求三棱锥P-AEF的体积．

22. 难度：中等

已知动点A，B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且（t是不为零的常数）．设点P的轨迹为曲线C．
（1）求点P的轨迹方程；若t=2，点M，N是C上关于原点对称的两个动点（M，N不在坐标轴上），点，（2）求△QMN的面积S的最大值．