2010-2011学年江苏省苏州中学高三（上）12月段考数学试卷（2）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，点A（1，-1，2），点B（2，1，3），则线段AB长为    ．

2. 难度：中等

满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是    ．

3. 难度：中等

若直l₁：ax+2y+6=0与直线l₂：x+（a-1）y+a²-1=0垂直，则a=    ．

4. 难度：中等

双曲5y²-20x²=1的焦点坐标为    ．

5. 难度：中等

已知sinαcosβ=1，则cos（α+β）=    ．

6. 难度：中等

已知点A（-1，-5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为    ．

7. 难度：中等

若方程cos2x+sin2x=a+1[0，]上有两个不同的实数解x，则实数a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

设命题P：a²＜a，命题Q：对任何x∈R，都有x²+4ax+1＞0．命题P与Q中有且仅有一个成立，则整数a的值为    ．

9. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，平面区域D：，则能覆盖平面区域D的最小的圆的方程为    ．

10. 难度：中等

已知F是抛物线C：y²=4x的焦点，P是抛物线C上任意一点，点A（2，1），则当PF+PA取得最小值时，点P的坐标为    ．

11. 难度：中等

设，则不等式f（m）+f（m²-2）≥0（m∈R）成立的充要条件是    ．（注：填写m的取值范围）

12. 难度：中等

数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…的第1000项是    ．

13. 难度：中等

如图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水    cm³．

14. 难度：中等

设点O是△ABC的外心，AB=13，AC=12，则=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别是a，b，c，且满足．
（1）求角B的值；
（2）若，a+c=5，求a，c的值．

16. 难度：中等

如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．
（1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时？

17. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率．过椭圆上任意一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得．F₂为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为（x，y）．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：；
（3）当点P在椭圆上运动时，试探究是否存在实数λ，使得点Q在同一个定圆上，若存在，求出λ的值及定圆方程；否则，请说明理由．

18. 难度：中等

一个公差不为0的等差数列{a_n}，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}，的第1、3、5项．
（1）求数列{a_n}，与{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}，与{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n，试求正整数m，使得S_m=T₁₂；
（3）求证：数列{b_n}中任意三项都不能构成等差数列．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，g（x）=2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值；
（3）试探究是否存在一次函数y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b对一切x＞0恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+4x+b（a＜0，且a，b∈R）．设关于x的不等式f（x）＞0的解集为（x₁，x₂），且方程f（x）=x的两实根为α，β．
（1）若|α-β|=1，求a，b的关系式；
（2）若α＜1＜β＜2，求证：（x₁+1）（x₂+1）＜7．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy上，动点P到定直线l：x=2与到定点F（1，0）的距离之和为3，求动点P的轨迹方程．

22. 难度：中等

已知，n=1，2，3，…．
求证：100+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）=100f（100）．

23. 难度：中等

已知定义在实数集R上的函数f（x），其导函数为f'（x），满足两个条件：①对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy成立；②f'（0）=2．
（1）求函数的f（x）的表达式；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．

24. 难度：中等

已知数列{a_n}，前n项和为S_n，若S_n+a_n=n²+3n-1，n∈N^*．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）是否存在常数p，q，使得数列{a_n+pn+q}为等比数列，若存在，求出数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．