2010-2011学年福建省莆田四中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

巳知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}与N={2，3，5}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．无穷多个

2. 难度：中等

若角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P（-4，3）为其终边上一点，则cosα的值为（ ）
A．
B．-
C．-
D．±

3. 难度：中等

已知a，b∈R，则“log₃a＞log₃b”是“（）^a＜（）^b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知f（x）=e^xcosx，则此函数图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（ ）
A．零角
B．锐角
C．直角
D．钝角

5. 难度：中等

今有一组数据如下：

t	1.99	3.0	4.0	5.1	6.12
v	1.5	4.04	7.5	12	18.01

在以下四个模拟函数中，最合适这组数据的函数是（ ）
A．v=log₂t
B．
C．
D．v=2t-2

6. 难度：中等

以下结论正确的是（ ）
A．命题“对边平行且相等的四边形是平行四边形”不是全称命题
B．命题“∃x∈R，x²+x+4≤0”的否定是“∀x∈R，x²+x+4≥0”
C．“a=b”是“ac=bc”的必要不充分条件
D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

7. 难度：中等

函数f（x）=x³+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-∞，0）
C．
D．（-∞，1）

8. 难度：中等

某地2008年降雨量p（x）与时间X的函数图象如图所示，定义“落量差函数”q（x）为时间段[0，x]内的最大降雨量与最小降雨量的差，则函数q（x）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（-1，1]时f（x）=|x|，则函数y=f（x）的图象与函数y=lg|x|的图象的交点个数为（ ）
A．16
B．18
C．20
D．无数个

10. 难度：中等

在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为．其中所有正确说法的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

11. 难度：中等

若sin（π+α）=，则tanα=    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=e^x-1与x轴，直线x=1围成的图形的面积是    ．

13. 难度：中等

若函数y=2^-x+1+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设函数则函数g（x）=f（x）-log₄x的零点个数为    ．

15. 难度：中等

定义：已知两数a、b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个数c便称c为“新数”，现有数1和4
①按上述规则操作三次后得到的最大新数c*=49；         ②2008不是新数；
③c+1总能被2整除；        ④c+1总能被10整除；      ⑤499不可能是新数．
其中正确的说法是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的定义域为M．
（1）求M；
（2）当x∈M时，求f（x）=a•2^x+2+3•4^x（a＞-3）的最小值．

17. 难度：中等

已知：．
（1）求f（x）关于x的表达式，并求f（x）的最小正周期；
（2）若时，f（x）的最小值为5，求m的值．

18. 难度：中等

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；
（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD（如图）底面是边长为2的正方形．侧棱PA⊥底面ABCD，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q．
（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）直线PC与平面PBA所成角的正弦值为，求PA的长；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求二面角P-MN-Q的余弦值．

20. 难度：中等

某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f（x）=x²-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（I）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．