2009-2010学年河南省商丘一高高二（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a∈R，则“a＞2”是“a²＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=，则公比q=（ ）
A．
B．-2
C．2
D．

3. 难度：中等

已知关于x的不等式ax-b＞0的解集是（-∞，1），则关于x的不等式（ax+b）（x-2）＞0的解集为（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-1，2）
C．（1，2）
D．（-∞，1）∪（2，+∞）

4. 难度：中等

已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（ ）
A．akm
B．akm
C．akm
D．2akm

5. 难度：中等

记等差数列的前n项和为S_n，若S₂=4，S₄=20，则该数列的公差d=（ ）
A．2
B．3
C．6
D．7

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=aⁿ-1（a为不为零的实数），则此数列（ ）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或是等差数列或是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

7. 难度：中等

如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（ ）
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C．p、q中至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为真命题

8. 难度：中等

曲线y=x²在点M（）的切线的倾斜角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

9. 难度：中等

双曲线的虚轴长为4，离心率，F₁、F₂分别是它的左、右焦点，若过F₁的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF₂|与|BF₂|的等差中项，则|AB|等于（ ）
A．
B．
C．
D．8

10. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₂=0，a₄=-2，S_n=f（n），则f（n）的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．0

11. 难度：中等

已知双曲线y²-x²=1的离心率为e，且抛物线y²=2px的焦点坐标为（e²，0），则p的值为（ ）
A．-2
B．-4
C．2
D．4

12. 难度：中等

f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+x•f'（x）＜0，且f（-4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（-4，0）∪（4，+∞）
B．（-4，0）∪（0，4）
C．（-∞，-4）∪（4，+∞）
D．（-∞，-4）∪（0，4）

二、填空题

13. 难度：中等

设，当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为     ．

14. 难度：中等

已知实数x、y满足，则z=2x-y的取值范围是    ．

15. 难度：中等

双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为（2，0），则此双曲线的渐近线方程是    ．

16. 难度：中等

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列的前n项和的公式是     ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．   
（1）求b的值；    
（2）求sinC的值．

18. 难度：中等

命题P：关于x的方程mx²-（1-m）x+m=0没有实数解；命题Q：关于x的方程x²-（m+3）x+m+3=0有两个不等正实数根；若命题P且命题非Q为真，求m值的取值范围．

19. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆过点，且离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．

22. 难度：中等

数列{a_n}满足 a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N，n≥2），a₃=27．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）记，是否存在一个实数t，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n．