2009-2010学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前三项依次为a-1，a+1，a+4，则a_n=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．∃λ∈R，
D．存在不全为零的实数λ₁，λ₂，

3. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-ax+4，若f（x+1）是偶函数，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

4. 难度：中等

用0.618法选取试点，实验区间为[2，4]，若第一个试点x₁处的结果比x₂处好，x₁＞x₂，则第三个试点应选取在（ ）
A．2.236
B．3.764
C．3.528
D．3.925

5. 难度：中等

在极坐标中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=2cos²
B．y=2sin²
C．
D．y=cos2

7. 难度：中等

||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于（ ）
A．
B．3
C．
D．

8. 难度：中等

设函数，区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数多个

二、填空题

9. 难度：中等

在数列{a_n}中，若a₁=1，a₂=，（n∈N^*），则该数列的通项a_n=    ．

10. 难度：中等

设x，y满足x²+y²=2，则x+2y的最小值是     ．

11. 难度：中等

函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[-π，0]的图象如图所示，则ω=    ．

12. 难度：中等

已知函数，满足对任意x₁≠x₂，都有成立，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

直线为参数）上与点A（-2，3）的距离等于的点的坐标是     ．

14. 难度：中等

满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=m（m为正整数），a_n+1=若a₆=1，则m所有可能的取值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量与互相垂直，其中．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若，求cosφ的值．

17. 难度：中等

ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，＜C＜，且．
（1）判断△ABC的形状
（2）若，求的取值范围、

18. 难度：中等

某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5-8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．
（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销量，单位；升），用哪个来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由．
（A）y=ax²+bx（B）y=log_ax+b（C）y=a^x+b（D）y=x^a+b
若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把你所选的模拟函数求出来．
（2）因为A饮料在B国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件的影响，A饮料在人均GDP低于3千美元和高于6千美元的地区销量下降5%，其它地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在各个地区中，年人均A饮料的销量最多为多少？

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=，记b_n=a_2n，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求S_2n+1．

20. 难度：中等

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax．
（1）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式．
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的表达式．
（3）若函数f（x）的最大值为，在区间[-1，3]上，解关于x的不等式．

21. 难度：中等

设数列{a_n}满足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…
（1）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄并由此猜测a_n的一个通项公式；
（2）当a₁≥3时，证明对所的n≥1，有
①a_n≥n+2
②