2007-2008学年广东省惠州一中高三（上）数学寒假作业4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设方程x²-px-q=0的解集为A，方程x²+qx-p=0的解集为B，若A∩B={1}，则p+q=（ ）
A．2
B．0
C．1
D．-1

2. 难度：中等

已知cos（α-π）=-，且α是第四象限角，则sin（-2π+α）=（ ）
A．-
B．
C．±
D．

3. 难度：中等

已知0＜a＜1，f（x）=a^|x|-|log_ax|的实根个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．1个或2个或3个

4. 难度：中等

实数a=0是直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

5. 难度：中等

平面上有一个△ABC和一点O，设，又OA、BC的中点分别为D、E，则向量等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A．（，）
B．（π，2π）
C．（，）
D．（2π，3π）

7. 难度：中等

点P（x，y）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且∠F₁PF₂≤90°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．0＜e＜1
D．

8. 难度：中等

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，函数y=g（x）是R上的偶函数，且f（x）=g（x+2），当0≤x≤2时，g（x）=x-2，则g（10.5）的值为（ ）
A．-1.5
B．8.5
C．-0.5
D．0.5

二、填空题

9. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的实部为    ．

10. 难度：中等

在（1-x）（1+x）¹⁰的展开式中，x⁵的系数是    ．

11. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，则f（x）=    ．

12. 难度：中等

程序框图（如图）的运算结果为    ．

13. 难度：中等

从以下两个小题中选做一题（只能做其中一个，做两个按得分最低的记分）．
（1）自极点O向直线l作垂线，垂足是H（），则直线l的极坐标方程为    ．
（2）如图，⊙O和⊙O'都经过A、B两点，AC是⊙O'的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O'于点D，若BC=2，BD=6，则AB的长为    ．

14. 难度：中等

已知实数a，b满足等式，下列五个关系式：
①0＜b＜a，②a＜b＜0，③0＜a＜b，④b＜a＜0，⑤a=b
其中不可能成立的关系式有    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）画出函数的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．

16. 难度：中等

一个盒子里装有标号为1，2，3，…，n的n（n≥3，且n∈N*）张标签，今随机地从盒子里无放回地抽取两张标签，记ξ为这两张标签上的数字之和，若ξ=3的概率为．
（1）求n的值；（2）求ξ的分布列；（3）求ξ的期望．

17. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，g（x）=x-1．
（1）若∃x∈R使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m²，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系内有两个定点F₁，F₂和动点P，F₁，F₂坐标分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），动点P满足，动点P的轨迹为曲线C，曲线C关于直线y=x的对称曲线为曲线C″，直线y=x+m-3与曲线C″交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积为，
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的值．

20. 难度：中等

如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a_n．求
（Ⅰ）a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）a_n与a_n+1（n≥2）的关系式；
（Ⅲ）数列{a_n}的通项公式a_n，并证明a_n≥2n（n∈N^*）．