2008-2009学年浙江省宁波二中高三（上）期始数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z₁=3+i，z₂=1-i，则z₁•z₂在复数z₁•z₂平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₃=2，则该数列的前5项的和为（ ）
A．32
B．16
C．10
D．20

3. 难度：中等

矩阵可逆的一个充分不必要条件是（ ）
A．ad-bc≠0
B．ab-cd≠0
C．
D．

4. 难度：中等

如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）

A．3
B．6
C．
D．

5. 难度：中等

从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（ ）
A．70种
B．112种
C．140种
D．168种

6. 难度：中等

设函数，若f（x₁）＞f（x₂），则下列不等式必定成立的是（ ）
A．x₁+x₂＞0
B．x₁²＞x₂²
C．x₁＞x₂
D．x₁＜x₂

7. 难度：中等

给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞10
B．i＜10
C．i＞20
D．i＜20

8. 难度：中等

设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

9. 难度：中等

函数y=x²-2x在区间[a，b]上的值域是[-1，3]，则点（a，b）的轨迹是图中的（ ）

A．线段AB和线段AD
B．线段AB和线段CD
C．线段AD和线段BC
D．线段AC和线段BD

10. 难度：中等

双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在极坐标系中，O是极点，，则△AOB的形状为    ．

12. 难度：中等

=    ．

13. 难度：中等

设不等式组所表示的平面区域为S，若A，B为S内的两个点，则|AB|的最大值为    ．

14. 难度：中等

（1-x）+（1-x）²+…+（1-x）¹⁰的展开式中x²项的系数是    ．（用数字作答）

15. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）的内接矩形的最大面积是    ．

16. 难度：中等

空间一点P（x，y，z）满足2x+3y+6z=12，则点P到坐标原点的最小距离为    ．

17. 难度：中等

在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，以、为基底表示，则=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx•cosωx-cos²ωx（ω＞0）的周期为，
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．

19. 难度：中等

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}中，对一切自然数n，都有a_n∈（0，1）且a_n•a_n+1²+2a_n+1-a_n=0．求证：
（1）a_n+1S_n；
（2）若S_n表示数列{a_n}的前n项之和，则S_n＜2a₁．

22. 难度：中等

已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于x轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．