2010-2011学年黑龙江省哈尔滨三中高二（下）第一学段数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．-1
B．1
C．0
D．2

2. 难度：中等

若命题p：2是偶数；命题q：2是5的约数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．（￢p）∧（￢q）
C．￢p
D．p∨q

3. 难度：中等

某校有老师300人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80，则n=（ ）
A．171
B．184
C．200
D．392

4. 难度：中等

命题“∃x∈R，x³-x²+1＞0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x³-x²+1≤0
B．∃x∈R，x³-x²+1＜0
C．∃x∈R，x³-x²+1≤0
D．不存在x∈R，x³-x²+1＞0

5. 难度：中等

曲线y=xlnx的切线与直线x-y+1=0平行，则切线方程为（ ）
A．x-y-3=0
B．x-y-2=0
C．x-y-1=0
D．x-y=0

6. 难度：中等

“|x|＜2”是“x²-x-6＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

一物体在力F（x）=3+e^2x（x的单位：m，F的单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=1处，力F（x）所做的功为（ ）
A．（3+e²）J
B．J
C．J
D．（2+e²）J

8. 难度：中等

对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），则下列说法中不正确的是
（ ）
A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心点（，）
B．用相关指数R²来刻画回归效果，R²越小，说明模型的拟合效果越好
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．在线性回归模型中，R²=0.92表示解释变量解释了92%的预报变量

9. 难度：中等

调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：

	晚上	白天
男婴	18	12
女婴	9	21

参考公式：，其中n=a+b+c+d

P（K^2≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

从中可以得出婴儿出生的时间与性别有关系的把握（在下列选项中）最多有（ ）
A．99%
B．97.5%
C．95%
D．90%

10. 难度：中等

函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图，则函数的单调递增区间是
（ ）

A．（-∞，2]
B．，+∞）
C．[-2，3]
D．，+∞）

11. 难度：中等

一边长为24cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，则该方盒容积最大时，
x=（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm

12. 难度：中等

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）使得f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立，则称
g（x）为函数f（x）的一个承托函数．以下说法
（1）函数f（x）=x²-2x不存在承托函数；
（2）函数f（x）=x³-3x不存在承托函数；
（3）函数不存在承托函数；
（4）g（x）=1为函数f（x）=x⁴-2x³+x²+1的一个承托函数；
（5）g（x）=x为函数f（x）=e^x-1的一个承托函数．
中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

已知随机变量ξ～N（0，σ²），若P（-1＜ξ＜0）=0.3，则P（ξ＜1）=    ．

14. 难度：中等

已知函数存在三个不同的零点，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

=    ，该定积分的几何意义是    ．

16. 难度：中等

已知函数，如果对任意m，n∈（0，a），当m＞n时满足＞1，则a的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

某市为研究市区居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）求月收入在[3000，3500）内的被调查人数；
（Ⅱ）估计被调查者月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+x-1．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的极大值与极小值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

从一工厂全体工人中随机抽取5人，其工龄与每天加工A种零件个数的数据如下表：

工人编号	1	2	3	4	5
工龄 x（年）	3	5	6	7	9
个数 y（年）	2	3	3	4	5

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）若某名工人的工龄为11年，试估计他每天加工的A种零件个数．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx．
（Ⅰ）当x=1时f（x）取得极值，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值．

21. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．
（Ⅰ）用b表示a，并求b的范围；
（Ⅱ）设此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，求S的最大值及此时a、b的值．

22. 难度：中等

定义：设函数f（x）在（a，b）内可导，若f′（x）为（a，b）内的增函数，则称f（x）为（a，b）内的下凸函数．
（Ⅰ）已知f（x）=e^x-ax³+x在（0，+∞）内为下凸函数，试求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）为（a，b）内的下凸函数，求证：对于任意正数λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，
不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）对于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．