2008-2009学年广东省广州六中高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

定积分∫¹dx的值为（ ）
A．1
B．ln2
C．-
D．ln2-

3. 难度：中等

某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（ ）
A．24
B．22
C．20
D．12

4. 难度：中等

已知a=1+，b=+，c=4则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a

5. 难度：中等

曲线y=x³-x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（ ）
A．[，+∞）
B．（，+∞）
C．（-，+∞）
D．[-，+∞）

6. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=3，a_n+2=|a_n+1-a_n|，则a₂₀₀₉=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0

7. 难度：中等

函数f（x）=xlnx的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

ABCD-A₁B₁C₁D₁是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．白蚂蚁爬行的路线是AA₁→A₁D₁，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB₁，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（i∈N^*），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（ ）

A．
B．1
C．0
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量=（x，1，0），=（1，2，3），若，则x=    ．

10. 难度：中等

若复数z•=，则复数z=    ．

11. 难度：中等

由曲线y=x²与x=y²所围成的曲边形的面积为    ．

12. 难度：中等

在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则．类比这一结论，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P-ABC的高为h，则结论为     ．

13. 难度：中等

为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有    种不同涂色方案（要求用具体数字作答）．

14. 难度：中等

若在区间[-1，1]上，函数f（x）=x³-ax+1≥0恒成立，则a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知复数z=（m²-8x+15）+（m²-9m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，
（1）z为实数？z为纯虚数？
（2）A位于第三象限？

16. 难度：中等

已知α，β≠+kπ（k∈Z）且sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、cosθ的等比中项．求证：=．

17. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离．

18. 难度：中等

如图，设铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC=10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．
（1）将总运费y表示为x的函数；
（2）如何选点M才使总运费最小？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤s成立，求s的最小值．

20. 难度：中等

已知各项为正的数列{a_n}的首项为a₁=2sinθ（θ为锐角），+a_n+1²=2，数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求证：当x∈（0，）时，sinx＜x
（2）求a_n，并证明：若θ=，则a₁+a₂+…+a_n＜π
（3）是否存在最大正整数m，使得b_n≥msinθ对任意正整数n恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．