2010-2011学年四川省南充高级中学高三（下）最后一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

若函数y=f（x）的反函数图象过点（1，5），则函数y=f（x）的图象必过点（ ）
A．（1，1）
B．（1，5）
C．（5，1）
D．（5，5）

3. 难度：中等

函数f（x）=1+log₂x与g（x）=2^-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q=2，前n项和为S_n，则=（ ）
A．2
B．4
C．
D．

5. 难度：中等

设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）
A．4a-5b=3
B．5a-4b=3
C．4a+5b=14
D．5a+4b=14

6. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：，则z=x-3y的最小值（ ）
A．-2
B．-4
C．-6
D．-8

7. 难度：中等

直线与圆x²+y²-2x-2=0相切，则实数m等于（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或

8. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面是等边三角形，顶点A₁在底面的射影为点B，且△ABA₁是一个等腰直角三角形，则异面直线AB与B₁C所成的角大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成不重复的“五位波浪数”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

直线l过抛物线y²=x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为θ，，则|FA|的取值范围是（ ）
A．[，）
B．（，]
C．（，]
D．（，1+]

11. 难度：中等

将的图象向右平移个单位长度后，再使平移后的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=f（x）的图象，将方程xf（x）=1的所有正根按从小到大排成一个数列{a_n}，在以下结论中：
①a_2k+2-a_2k＞2π（k∈N^*）；      ②；
③a_2k-1+a_2k＞（4k-3）π（k∈N^*）； ④a_2k+a_2k+1＞（4k-1）π（k∈N^*）
正确结论的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

定义在正实数上的连续函数f（x）满足：f（1）=2，且对于任意的正实数x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），则f（4）=（ ）
A．4
B．6
C．8
D．16

二、填空题

13. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是    ．

14. 难度：中等

的展开式中有且仅有5个有理项，则自然数n的最大值是    ．

15. 难度：中等

如图，半径为R的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则直线PA与平面PBE所成的角大小为    ．

16. 难度：中等

定义：对于映射f：A→B，如果A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射．如果存在对应关系φ，使A到B成为一一映射，则称A和B具有相同的势．给出下列命题：
①A={奇数}，B={偶数}，则A和B 具有相同的势；
②有两个同心圆，A是小圆上所有点形成的集合，B是大圆上所有点形成的集合，则A和B 不具有相同的势；
③A是B的真子集，则A和B不可能具有相同的势；
④若A和B具有相同的势，B和C具有相同的势，则A和C具有相同的势
其中真命题为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）化简函数f（x）的解析式，并求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若方程恒有实数解，求实数t的取值范围．

18. 难度：中等

南充高中组织了一次趣味运动会，奖品为肥皂或洗衣服．新老校区共36名教师参加，其中是新校区的老师，其余是老校区的老师．在新校区的参加者中有获得一块肥皂的奖励，在老校区的参加者中有获得一袋洗衣粉的奖励，其余人没有获奖．
（I）在参加运动会的教师中随机采访3人，求恰有1人获得肥皂且获得洗衣粉的教师少于2人的概率；
（II）在老校区参加运动会的教师中随机采访3人，设其中获得洗衣粉的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，FC的中
点为M．
（1）求证：OM∥平面DAF；
（2）求二面角A-CF-E的大小；
（3）求三棱锥O-MEF的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆：的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F₂的直线l与椭圆交于A，B两点，四边形F₁ACB为平行四边形，O为坐标原点，且，求直线l的方程．

21. 难度：中等

数列{a_n}满足：对任意的正整数m，n；s，t，若m+n=s+t，则，且．
（1）求证：；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记c_n=a_2n-a_2n+1（n∈N*），求证：．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x-sinx（x≥0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若函数在（0，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围；
（3）若对一切n∈N^*恒成立，求λ的最小值．