2009-2010学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={0，2，3}，集合B={x|x=a•b，其中a、b∈A}，则集合B的子集的个数是（ ）
A．4
B．8
C．15
D．16

2. 难度：中等

命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）
A．有两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角

3. 难度：中等

设函数，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列函数中为幂函数的个数是（ ）
①②y=3x⁴③④．
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

设0＜a＜1，m=log_a（a²+1），n=log_a（a+1），p=log_a（2a），则m，n，p的大小关系是（ ）
A．n＞m＞p
B．m＞p＞n
C．m＞n＞p
D．p＞m＞n

6. 难度：中等

已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）=[x]为取整函数，的零点，则g（x）等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

已知不等式x²-4x+3＜0①；x²-6x+8＜0②；2x²-9x+m＜0③；要使同时满足①②的x也满足③，则m应满足（ ）
A．m＞9
B．m=9
C．m≤9
D．0＜m≤9

8. 难度：中等

已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集为（ ）

A．（-∞，-2）∪（1，+∞）
B．（-∞，-2）∪（1，2）
C．（-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）
D．（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）

9. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^x+a•e^-x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，则函数y=f（x）与y=log₅x的图象的交点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

11. 难度：中等

函数f（x）=（ ）
A．在[0，），（，π]上递增，在[π，），（，2π]上递减
B．在[0，），[π，）上递增，在（，π]，（，2π]上递减
C．在（，π]，（，2π]上递增，在[0，），[π，）上递减
D．在[π，），（，2π]上递增，在[0，），（，π]上递减

12. 难度：中等

已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

函数f（x）=log₂（x-x²）的单调递减区间是    ．

14. 难度：中等

如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集，则实数b的取值范围为    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）=x-，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①已知点到直线的距离为1；
②若f'（x）=0，则函数y=f（x）在x=x取得极值；
③m≥-1，则函数的值域为R；
④在极坐标系中，点到直线的距离是2．
其中真命题是    （把你认为正确的命题序号都填在横线上）

三、解答题

17. 难度：中等

已知命题p：x²-8x-20≤0，命题q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0），且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

设直线x=1是函数f（x）的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x³．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）当x∈[3，7]时，求函数f（x）的解析式．

19. 难度：中等

已知C₁的极坐标方程为，M，N分别为C₁在直角坐标系中与x轴，y轴的交点．曲线C₂的参数方程为（t为参数，且t＞0），P为M，N的中点，求过OP（O为坐标原点）的直线与曲线C₂所围成的封闭图形的面积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）满足，其中a＞0且a≠1．
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值集合；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）+3＞0恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a、b为实数．
（1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；
（2）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
（1）求k的值
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围
（3）讨论关于x的方程的根的个数．