2009-2010学年北京师大附中高三（上）9月段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={y|y=log₂x，x＞1}，B={y|y=（）^x，x＞1}，则A∪B等于（ ）
A．{y|0＜y＜}
B．{y|y＞0}
C．∅
D．R

2. 难度：中等

函数y=sinx在x∈[0，2π]上的图象与x轴围成区域的面积可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列命题是假命题的是（ ）
A．若f（x），g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
B．若f（x），g（x）是增函数，则f（x）+g（x）是增函数
C．若f（x），g（x）是偶函数，则f（x）g（x）是偶函数
D．若f（x），g（x）是增函数，则f（x）g（x）是增函数

4. 难度：中等

为了得到函数y=2^x-3-1的图象，只需把函数y=2^x上所有点（ ）
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

5. 难度：中等

设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是（ ）
A．（-3，1）∪（3，+∞）
B．（-3，1）∪（2，+∞）
C．（-1，1）∪（3，+∞）
D．（-∞，-3）∪（1，3）

6. 难度：中等

已知甲、乙两人沿一条笔直的路进行赛跑，甲、乙两人的速度曲线分别为V_a和V_b（如图所示）．那么对于图中给定的T和T₁，下列判断中一定正确的是（ ）

A．在T时刻，两车的位置相同
B．在T时刻，甲车在乙车前面
C．T时刻后，乙车在甲车前面
D．T₁时刻后，乙车在甲车前面

7. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-1|-1，则关于x的方程f²（x）-bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是（ ）
A．c=0且-1＜b＜0
B．c=0且0＜b＜1
C．c≥0且-1＜b＜0
D．c≤0且0＜b＜1

8. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[]=1），对于给定的n∈N^*，定义，x∈[1，+∞），则当x∈时，函数C₈^x的值域是（ ）
A．
B．
C．[28，56）
D．

二、填空题

9. 难度：中等

命题“如果a，b都是奇数，则ab是奇数”的否命题形式为    ，否命题为    （填“真命题，假命题”）

10. 难度：中等

函数的定义域为    ．

11. 难度：中等

若a=2^0.5，b=log_π3，，试比较a，b，c大小     ．

12. 难度：中等

已知映射f：（a，b）→（x₁x₂，|x₁-x₂|），其中x₁，x₂（x₁，x₂∈C）是方程x²+ax+b=0（a，b∈R）的两根，则（2，1）的像为    ，（2，1）的原像为    ．

13. 难度：中等

若曲线f（x）=ax²+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

三个同学对问题“关于x的不等式x²+25+|x³-5x²|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知集合A={x||x-1|≤3}，B={x|x²-（2m-3）x+m²-3m≤0，m∈R}
（1）若A∩B={x|2≤x≤4}，求实数m的值；
（2）设全集为R，若A⊆C_RB，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

已知f（x）=2f（-x）-x²-12x-1对任意x∈R均成立，
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设g（x）=f（x）e^-x，求g（x）的单调区间．

17. 难度：中等

某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

18. 难度：中等

设F（x）的定义域为R，且满足F（ab）=F（a）F（b），其中F（2）=8．定义在R上的函数f（x）满足下述条件：①f（x）是奇函数；②f（x+2）是偶函数；③在[-2，2]上，f（x）=F（x）
（1）设G（x）=f（x+4），判断G（x）的奇偶性并证明；（2）解关于x的不等式：f（x）≤1．

19. 难度：中等

已知函数（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c．
（Ⅰ）求函数f（x）的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数f（x）的极大值M和极小值m，并求M-m≥1时k的取值范围．

20. 难度：中等

集合M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对任意的s＞0，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．
（1）试判断函数f₁（x）=log₂（x+1），f₂（x）=2^x-1是否属于M；
（2）证明：对任意的x＞0，x+m＞0（m∈R，m≠0），m[f（x+m）-f（x）]＞0；
（3）证明：对于任意给定的正数ε＞0，总存在正数δ＞0，当x∈（0，δ]时，f（x）＜ε．