2009-2010学年湖南省长沙市同升湖实验学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（ ）
A．φ
B．（3，4）
C．（-2，1）
D．（4，+∞）

2. 难度：中等

命题“存在x∈R，2x²-1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，2x²-1＞0
B．存在x∈R，2x²-1＞0
C．对任意的x∈R，2x²-1≤0
D．对任意的x∈R，2x²-1＞0

3. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅=105，a₂+a₄+a₆=99，以S_n表示{a_n}的前n项和，则使得S_n达到最大值的n是（ ）
A．21
B．20
C．19
D．18

4. 难度：中等

若3sinα+cosα=0，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．-2

5. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足，则f（2009）的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

6. 难度：中等

三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有 （ ）条．
A．1
B．2
C．3
D．1或2

7. 难度：中等

已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1-x）-x²+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．x-y-2=0
B．x-y=0
C．3x+y-2=0
D．3x-y-2=0

8. 难度：中等

设函数的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为（ ）
A．-2
B．-4
C．-8
D．不能确定

二、填空题

9. 难度：中等

若（i为虚数单位），则a+b=    ．

10. 难度：中等

已知向量，，，若则k=    ．

11. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组，则3x+2y的最大值是    ．

12. 难度：中等

设A={A，B，C}，B={-1，0，1}，f：A→B是A到B的映射，使得f（a）+f（b）+f（c）=0，这样的映射的个数是     ．

13. 难度：中等

甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是    ．

14. 难度：中等

设a₁=2，，b_n=，n∈N⁺，则数列{b_n}的通项公式b_n=    ．

15. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x），满足以f（x+2）=-f（x）且在[0，2]上是减函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-2，6]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

17. 难度：中等

函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|．
（Ⅲ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，，
求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；
（Ⅱ）二面角E-CD-A的大小．

19. 难度：中等

在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数．
（Ⅰ）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；
（Ⅱ）记ξ为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

20. 难度：中等

已知数列a_n的前n项和
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证：数列b_n是等差数列，并求数列a_n的通项公式．
（2）令，试比较T_n与的大小，并予以证明．

21. 难度：中等

以知椭圆的两个焦点分别为F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交与A，B两点，且F₁A∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F₂B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF₁C的外接圆上，求的值．