2009-2010学年北京师大附中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合M={x|x²＜1}，N={x|x²-x＜0}，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知命题p：∃m∈R，3^m≤0，则命题p的否定是（ ）
A．不存在m∈R，使3^m＞0
B．∃m∈R，3^m＞0
C．∀m∈R，3^m≤0
D．∀m∈R，3^m＞0

3. 难度：中等

设，为非零向量，λ∈R，若“=λ”是“与方向相同”的充分不必要条件，则λ的取值范围可以是（ ）
A．（0，+∞）
B．（-∞，0）
C．（1，+∞）
D．（-∞，1）

4. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=2cos²
B．y=2sin²
C．
D．y=cos2

5. 难度：中等

某景泰蓝厂为了制作国庆六十周年的纪念品，需要一种特殊的蓝色釉料．此种釉料需要用石英、云石、硼砂等矿物质，再加某种化工原料合制而成．为了寻找最合适的配方，需要在单位用量（10，28）的试验范围内寻找该种化工原料的最佳配用量，考虑到试验的工序多时间长，现决定用均分分批试验法安排试验，每批试验安排8个试点，则第二批试验后存优范围的区间长度是（ ）
A．0.4
B．0.5
C．0.8
D．1

6. 难度：中等

给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；
②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ ）
A．10海里
B．10海里
C．20海里
D．20海里

8. 难度：中等

设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）
A．[1，4]
B．[2，3]
C．[3，4]
D．[2，4]

二、填空题

9. 难度：中等

不等式lg（x+1）≤0的解集是    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，已知（）⊥，且，2•=•则△ABC的形状是     ．

11. 难度：中等

先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，抛掷第一枚骰子得到的点数记为x，抛掷第二枚骰子得到的点数记为y，则使log_2xy=1的概率为    ．

12. 难度：中等

已知tan（+θ）=3，则sin2θ-2cos²θ的值为     ．

13. 难度：中等

已知点A（1，2），直线l₁：（t为参数）与直线l₂：2x-4y=5相交于点B，则A、B两点之间的距离|AB|=    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=（2x²-5x+3）的单调递增区间是     ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列．
（1）若a₃=-2，a₉=10，则a₁₂=    ；
（2）一般地，若a_m=s，a_n=t（m＞n），则a_m+n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期为π，求当-≤x≤时，f（x）的值域
（2）若函数f（x ）的图象的一条对称轴为x=，求ω的值．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-（a-1）x²+b²x，其中a，b为实常数．
（Ⅰ）求函数f（x）为奇函数的充要条件；
（Ⅱ）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函数f（x）在R上是增函数的概率．

18. 难度：中等

如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA=AC=，BD=，求直线BM与平面PAC所成的角．

19. 难度：中等

据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据估计，如果有x（x＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3000a元（a＞0为常数）．
（I）在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；
（Ⅱ）在（I）的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？

20. 难度：中等

已知两圆Q1：（x+1）²+y²=和Q2：（x-1）²+y²=，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M（5，0）作直线l与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线l，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=，记b_n=a_2n（n∈N*），S_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）证明数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+s_n-1恒成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）令c_n=，证明：c_n≤（n∈N*）．