2008-2009学年北京101中学高三（上）9月统考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={x||x-1|＜2，x∈Z}的真子集的个数是（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知，a₂+a₅=4，a_n=33，则n为（ ）
A．48
B．49
C．50
D．51

3. 难度：中等

函数y=-x²-1（x≥0）的反函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若 f（x）=-x²+2ax 与g（x）= 在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（-1，0）∪（0，1）
B．（-1，0）∪（0，1]
C．（0，1]
D．（0，1）

5. 难度：中等

设，g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，+∞），则g（x）的值域是（ ）
A．（-∞，-1]∪[1，+∞）
B．（-∞，-1]∪[0，+∞）
C．[0，+∞）
D．[1，+∞）

6. 难度：中等

若函数y=f（x）的图象与y=2^x的图象关于y轴对称，若y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，则y=f^-1（x²-2x）的单调递增区间是（ ）
A．.[1，+∞）
B．.（2，+∞）
C．.（-∞，1]
D．（-∞，0）

7. 难度：中等

已知数列{a_n}中，S_n为数列的前n项和，且S_n与的一个等比中项为n，则S₃的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

8. 难度：中等

已知以下函数：（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3e^cosx；（3）f（x）=3e^x；（4）f（x）=3cosx．
其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，都存在唯一一个自变量x₂使成立的函数是（ ）
A．（1）（2）（4）
B．（2）（3）
C．（3）
D．（4）

二、填空题

9. 难度：中等

函数的定义域为    ．

10. 难度：中等

设集合A=，那么“m∈A”是“m∈B”的    条件．

11. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和S_n=3n-2n²（n∈N^*），则a_n=    ；此时S_n与na_n大小关系是    ．

12. 难度：中等

设a＞0，a≠1，函数有最大值，则不等式log_a（x²-5x+7）＞0的解集为    ．

13. 难度：中等

对于函数f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）有如下结论：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）②f（x₁）f（x₂）=f（x₁）+f（x₂）③
④，当时，上述结论中正确的序号是    （写出全部正确结论的序号）

14. 难度：中等

若关于x的方程|a^x-1|=2a，（a＞0，a≠1）有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=a_n3ⁿ（x∈R）．求数列{b_n}前n项和的公式．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），其反函数f^-1（x）的图象过点（8，2）．（1）求a，k的值
（2）若将y=f^-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y=g（x）的图象，写出y=g（x）的解析式
（3）若函数F（x）=g（x²）-f^-1（x），求F（x）的最小值及取得最小值时x的值．

17. 难度：中等

已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值        
（2）求f（x）的解析式
（3）若函数g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在区间（-1，2）上是减函数，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中nÎN^*．
（1）设函数y=f（x）图象的顶点的坐标为（a_n，f（a_n）），求证数列{a_n}是等差数列；
（2）设函数y=f（x）图象的顶点到y轴的距离构成数列{b_n}，求数列{b_n}的前n项和；
（3）在（1）的条件下，若数列{c_n}满足（nÎN^*），求数列{c_n}中值最大的项和值最小的项．

19. 难度：中等

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．

20. 难度：中等

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数有且只有两个不动点0，2，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足，求数列通项a_n；
（3）如果数列{a_n}满足a_n=f（a_n），求证：当n≥2时，恒有a_n＜3成立．