2009-2010学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|y=log₂（x-1）}，B={y|y=2^x+1，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．φ
B．（1，3）
C．（3，+∞）
D．（1，+∞）

2. 难度：中等

已知与夹角θ=120°，则向量在向量上的投影为（ ）
A．-2
B．2
C．
D．

3. 难度：中等

将函数y=sin（2x+）的图象经怎样平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（ ）
A．向左移
B．向左移
C．向右移
D．向右移

4. 难度：中等

设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为（ ）
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，数小正周期为2π
D．非周期函数

5. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁ C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知下列四个命题：
①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；
②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；
③若一条直线平行一个平面，另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直；
④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直；
其中真命题的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④

7. 难度：中等

已知f（x）为偶函数，且f （2+x）=f （2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，a_n=f （n），n∈N^*，则a₂₀₁₀的值为（ ）
A．2010
B．4
C．
D．-4

8. 难度：中等

给出下列四个函数图象：
它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的至少一条：
①对任意实数x，y都有f（xy）=f（x）f（y）成立；
②对任意实数x，y都有成立；
③对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立；
④对任意实数x都有2f（x+2）=f（x+1）-f（x）成立．则下列对应关系最恰当的是（ ）
A．a和①，d和②，c和③，b和④
B．c和①，b和②，a和③，d和④
C．c和①，d和②，a和③，b和④
D．b和①，c和②，a和③，d和④

二、填空题

9. 难度：中等

在△ABC中，三内角A，B，C分别对应三边a，b，c，tanC=，c=8，则△ABC外接圆半径R为    ﹒

10. 难度：中等

已知正四面体的棱长为，则这个正四面体的外接球的体积是     ．

11. 难度：中等

已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|x²-3x≤10}，若P⊆Q，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

若为坐标原点，点C在第二象限内，且=，则实数λ的值是    ．

13. 难度：中等

由线性约束条件所确定的区域面积为S，记S=f（t）（0≤t≤1），则=    ．

14. 难度：中等

已知二次函数f（x）=3ax²-2ax+1在区间[-1，1]上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是   

15. 难度：中等

对于自然数i∈N^*，设a_i，k=i-3（k-1）（k=1，2，3，…），如a_3，4=3-3（4-1）=-6，对于自然数n，m，当n≥2，m≥2时，设b（i，n）=a_i，1+a_i，2+a_i，3+…+a_i，n，S（m，n）=b（1，n）+b（2，n）+b（3，n）+…+b（m，n），则b（10，6）=    ；S（10，6）=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知A、B、C是最大边长为2的△ABC的三个内角，．
（1）求tanA•tanB的值．（2）求∠C的最大值及此时△ABC的面积．

17. 难度：中等

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直（图1），图2为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．
（1）根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面图形的面积．
（2）图3中，L、E均为棱PB上的点，且，M、N分别为棱PA、PD的中点，问在底面正方形的对角线AC上是否存在一点F，使EF∥平面LMN．若存在，请具体求出CF的长度；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

某出版公司为一本畅销书定价如下：C（n）=这里n表示定购书的数量，C（n）表示定购n本所付的钱数（单位：元）．
（1）有多少个n，会出现买多于n本书比恰好买n本书所花钱少？
（2）若一本书的成本价是5元，现在甲、乙两人来买书（甲、乙不合买），每人至少买1本，甲买的书不多于乙买的书，两人共买60本，问出版公司至少能赚多少钱？最多能赚多少钱？

20. 难度：中等

已知定义在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的奇函数满足：①f（3）=1；②对任意的x＞2均有f（x）＞0；③对任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）．
（1）求f（2）的值．
（2）是否存在实数a，使得f（cos²θ+asinθ）＜3对任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：当n≥2时，{a_n+2a_n-1}和{a_n-3a_n-1}均为等比数列；
（2）求证：当k为奇数时，；
（3）求证：（n∈N^*）．