2009-2010学年北京四中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=x²+b x+c（x∈[0，+∞））是单调函数的充要条件是（ ）
A．b≥0
B．b≤0
C．b＞0
D．b＜0

2. 难度：中等

（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3

3. 难度：中等

设z=1+i（i是虚数单位），则=（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1-i
D．1+i

4. 难度：中等

若，则y′=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

给出四个命题：
（1）函数在闭区间[a，b]上的极大值一定比极小值大
（2）函数在闭区间[a，b]上的最大值一定是极大值
（3）对于f（x）=x³+px²+2x+1，若，则f（x）无极值
（4）函数f（x）在区间（a，b）上一定不存在最值
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

下列推理正确的是（ ）
A．由a（b+c）=ab+ac类比得到log_a（x+y）=log_ax+log_ay
B．由a（b+c）=ab+ac类比得到sin（x+y）=sinx+siny
C．由（a+b）+c=a+（b+c）类比得到（xy）z=x（yz）
D．由（ab）ⁿ=aⁿbⁿ类比得到（x+y）ⁿ=xⁿ+yⁿ

7. 难度：中等

函数f（x）=x³-ax²-bx+a²在x=1处有极值10，则点（a，b）为（ ）
A．（-4，11）或（3，-3）
B．（4，-5）或（-3，9）
C．（4，-5）
D．（-4，11）

8. 难度：中等

函数f（x）=e^x（x²-2x）的单调减区间是（ ）
A．，
B．，
C．
D．

9. 难度：中等

由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．2ln2

10. 难度：中等

已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．y=2x-1
B．y=
C．y=3x-2
D．y=-2x+3

11. 难度：中等

已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（ ）
A．（1，5）
B．（1，3）
C．
D．

12. 难度：中等

用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．8
B．24
C．48
D．120

13. 难度：中等

曲线与坐标轴围成的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

14. 难度：中等

若函数y=a^x（a＞1）在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a=    ．

15. 难度：中等

若复数z满足z（1+i）=1-i（I是虚数单位），则其共轭复数=    ．

16. 难度：中等

函数y=cos2x在点处的切线方程是    ．

17. 难度：中等

若函数在R上是增函数，
则实数m的取值范围是    ．

18. 难度：中等

若数列{a_n}满足a₁=2，a _n+1=（n∈N^*），则a₃=    ，a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀=    ．

19. 难度：中等

如图，x=±1是函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的两个极值点，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f'（x）＞0的解集为    ．

20. 难度：中等

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足f（0）=f（x₁）=f（x₂）=0（0＜x₁＜x₂），且在区间[x₂，+∞）上单调递增，则实数b的取值范围是    ．

三、解答题

21. 难度：中等

已知：函数f（x）=ln（x+a）+x²，当x=-1时，f（x）取得极值，求：实数a的值，并讨论f（x）的单调性．

22. 难度：中等

用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

23. 难度：中等

已知：数列{a_n}前n项和为S_n，a_n+S_n=n，数列{b_n}中b₁=a₁，b_n+1=a_n+1-a_n，
（1）写出数列{a_n}的前四项；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（3）求数列{b_n}的通项公式．

24. 难度：中等

已知：a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（1）；（2）．

25. 难度：中等

已知：函数f（x）=x³-6x+5，x∈R，
（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；
（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，求：实数k的取值范围．