2007-2008学年北京师大附中高三（下）3月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

的值为（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1

2. 难度：中等

=-1（0≤θ≤）成立的条件是（ ）
A．θ=
B．0≤θ＜
C．＜θ≤
D．≤θ≤

3. 难度：中等

若（1+5x²）ⁿ的展开式中各项系数之和是a_n，（2x³+5）ⁿ的展开式中各项的二项式系数之和为b_n，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列四个命题：①=0；②=0；③不存在；④设f （x ）=，则f （x）=0．其中不正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

6. 难度：中等

下列函数在x=0处连续的是（ ）
A．f（x）=
B．f（x）=ln
C．f（x）=
D．f（x）=

7. 难度：中等

设函数f （x ）=为R上的连续函数，则a等于（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

8. 难度：中等

的值为（ ）
A．0
B．
C．2
D．不存在

9. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足，那么的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．-2

10. 难度：中等

如图，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形边上再连接正方形，…，无限重复，设正方形的面积S₁，S₂，S₃，…，三角形的面积为T₁，T₂，T₃，…，当S₁的边长为2时，这些正方形和三角形的面积总和为（ ）

A．10
B．11
C．12
D．13

二、填空题

11. 难度：中等

若，则实数a+b    ．

12. 难度：中等

已知S_n是公差为d≠0的等差数列{a_n}的前n项和，{b_n}是公比为1-d的等比数列，若b₁=a₁，b₂=a₁a₂，b₃=a₂a₃，则=    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-ba_n+1-，其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若S_n存在，则 S_n=    ．

14. 难度：中等

已知=，则的值是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

解关于x的不等式（ax-1）（x+1）＞0（a∈R）．

16. 难度：中等

已知：f（x）=x²-x+m（m∈R）且f（log₂a）=m，log₂f（a）=2，a≠1
（1）求：f（log₂x）的最小值及对应的x值；（2）求：不等式f（log₂x）＞f（1）的解．

17. 难度：中等

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长AA₁=2，
（1）E为棱CC₁的中点，求证：B₁D₁⊥AE；
（2）求：二面角C-AE-B的平面角的正切值；
（3）求：点D₁到平面EAB的距离．

18. 难度：中等

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4	5
P	0.4	0.2	0.2	0.1	0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．

19. 难度：中等

已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是（0，-），离心率为
（1）求：椭圆方程；（2）若直线y=x+m与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别是F₁和F₂，求：以F₁F₂和AB为对角线的四边形F₁AF₂B面积的最大值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²+2bx+c，c＜b＜1，f（1）=0且方程f（x）+1=0有实数根．
（1）证明：-3＜c≤-1，且b≥0；
（2）若m是方程f（x）+1=0的一个实数根，判断f（m-4）的符号，并证明你的结论．