2007-2008学年广东省惠州一中高三（上）数学寒假作业3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={0，3，4}，B={x|x=a•b，a∈A，b∈A，a≠b}，则B的子集的个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

2. 难度：中等

设复数在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₇+a₉=16，a₄=1，则a₁₂的值是（ ）
A．15
B．30
C．31
D．64

4. 难度：中等

已知f（x）是定义在（-3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式xf（x）＜0的解集为（ ）

A．（-1，0）∪（1，3）
B．（-3，-1）∪（0，1）
C．（-1，0）∪（0，1）
D．（-3，-1）∪（1，3）

5. 难度：中等

对任意实数x，不等式3sinx-4cosx+c＞0恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（5，+∞）
D．（-∞，-5）

6. 难度：中等

已知K为实数，若双曲线的焦距与K的取值无关，则k的取值范围为（ ）
A．（-2，0]
B．（-2，0）∪（0，2）
C．[0，2）
D．[-1，0）∪（0，2]

7. 难度：中等

为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图．根据图可得这100名学生中体重在〔56.5，64.5〕的学生人数是（ ）

A．20
B．30
C．40
D．50

8. 难度：中等

若函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率为-1，有以下命题：
（1）f（x）的解析式为：f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]
（2）f（x）的极值点有且仅有一个
（3）f（x）的最大值与最小值之和等于零
其中假命题个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

二、填空题

9. 难度：中等

已知展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为    ．

10. 难度：中等

奇函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=1处有极值，则3a+b+c的值为    ．

11. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为    ．

12. 难度：中等

半径为r的圆的面积S（r）=πr²，周长C（r）=2πr，若将r看作（0，+∞）上的变量，则（πr²）′=2πr①．
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于①的式子②：    ，②式可以用语言叙述为：    ．

13. 难度：中等

在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y），若不等式（x-a）⊗（x+1）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围    ．

14. 难度：中等

地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数．①f（x）=p•q^x；②f（x）=px²+qx+1；③f（x）=x（x-q）²+p．
（以上三式中p、q均为常数，且q＞1，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，依此类推）．
（1）为准确研究其价格走势，应选    种价格模拟函数．
（2）若f（0）=4，f（2）=6，预测该果品在    月份内价格下跌．（5月、6月）

三、解答题

15. 难度：中等

设函数
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，求b，c的长．

16. 难度：中等

有A，B，C，D四个城市，它们都有一个著名的旅游点依此记为a，b，c，d把A，B，C，D和a，b，c，d分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对的得2分，连错的得0分；
（1）求该爱好者得分的分布列；
（2）求所得分的数学期望？

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离．

18. 难度：中等

设S_n是数列{a_n}的前n项和，所有项a_n＞0，且，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

19. 难度：中等

已知两点A（-2，0），B（2，0），动点P在y轴上的射影是H，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程（6分）
（2）已知过点B的直线l交曲线C于x轴下方不同的两点M，N，求直线l的斜率的取值范围（6分）

20. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性
（2）是否存在这样的实数m，当时，使不等式
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．