2009-2010学年浙江省杭州十四中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），则它的标准方程为（ ）
A．x²=-8y
B．x²=3y
C．y²=-3
D．y²=3

2. 难度：中等

两个焦点坐标分别是（-3，0），（3，0），经过点（5，0）的椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

命题：“∀x∈R⁺，x+”的否定是（ ）
A．∀x∈R⁺，x+＜2
B．∀x∈R⁺，x+＞2
C．∃x_1∈R⁺，x+
D．∃x₁∈R⁺，x+＜2

6. 难度：中等

从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰有1个白球；恰有2个白球
D．至少有一个白球；都是红球

7. 难度：中等

如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（ ）
A．求a，b，c三数的最大数
B．求a，b，c三数的最小数
C．将a，b，c按从小到大排列
D．将a，b，c按从大到小排列

8. 难度：中等

已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）
A．x=±
B．y=
C．x=
D．y=

9. 难度：中等

已知方程ax²+by²=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为6，空间有一点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，则三棱锥A-BCM的体积的最大值是（ ）
A．48
B．36
C．30
D．24

二、填空题

11. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是    ．

12. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为     ．

13. 难度：中等

已知向量，若，则x=    ；若则x=    ．

14. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁CC₁所成的角为a，则sina=    ．

15. 难度：中等

抛掷3枚质地均匀的一分、贰分、五分硬币，出现“2枚正面，1枚反面”的概率是     ．

16. 难度：中等

在集合{（x，y）|1≤x≤5，且0≤y≤4}内任取一个元素，能使代数式成立的概率是     ．

17. 难度：中等

如图，已知A、B、C、D分别为过抛物线y²=4x焦点F的直线与该抛物线和圆（x-1）²+y²=1的交点，则|AB|•|CD|=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

命题p：方程x²+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x²+4（m+2）x+1=0无实数根．若“p或q”为真命题，求m的取值范围．

19. 难度：中等

如图，圆O₁与圆O₂的半径都是1，O₁O₂=4，过动点P分别作圆O₁．圆O₂的切线PM、PN（M．N分别为切点），使得PM=PN．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

20. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．

21. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

22. 难度：中等

P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，=（2，-1，-4），=（4，2，0），=（-1，2，-1）．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）对于向量=（x₁，y₁z₁），，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义．

23. 难度：中等

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出L′的方程；若不存在，说明理由．