2010-2011学年江苏省连云港外国语学校高二（下）月考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题：“”的否定是    ．

2. 难度：中等

i是虚数单位．已知，则复数z对应的点落在第    象限．

3. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，ax²+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线方程为3x±4y=0，则双曲线方程为    ．

5. 难度：中等

在（1-x）⁵（1+x+x²）⁴的展开式中，x⁷的系数为    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=+cosx，则f（x）取得极值时的x值为    ．

7. 难度：中等

已知A为三角形的一个内角，函数y=x²cosA-4xsinA+6，对于∀x∈R都有y＞0，则角A的取值范围是    ．

8. 难度：中等

设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为    ．

9. 难度：中等

若x+2y=1，则2^x+4^y的最小值是    ；

10. 难度：中等

如果一个三位正整数如“a₁a₂a₃”满足a₁＜a₂，a₃＜a₂则称这样的三位数为凸数（如120、343、275等）那么所有凸数个数为    ．

11. 难度：中等

设中心在原点的椭圆离心率为e，左、右两焦点分别为F₁、F₂，抛物线y²=4x以F₂为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若
PF₂与x轴成45°，则e的值为    ．

12. 难度：中等

已知三次方程x³+ax²+2x+b=0有三个实数根，它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

请阅读下列材料：若两个正实数a₁，a₂满足a₁²+a₂²=1，那么a₁+a₂．证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a₁+a₂）²-8≤0，所以a₁+a₂．根据上述证明方法，若n个正实数满足a₁²+a₂²+…+a_n²=1时，你能得到的结论为    ．

14. 难度：中等

对∀n∈N₊，直线总与双曲线左、右两支各有一个交点，则该双曲线的离心率e范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知矩阵，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是．
（1）求矩阵A；
（2）若向量，计算A⁵β的值．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，满足S_n=6-2a_n+1（n∈N^*），
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）的猜想．

17. 难度：中等

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．
（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；
（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

18. 难度：中等

袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量ξ的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率．

19. 难度：中等

已知，f（x）=ax-lnx，，a∈R．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性、极值；
（2）当a=-1时，求证：成立；
（3）是否存在实数a，使x∈（0，e]时，f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程为=1，n=3．点P₁（3，0）及S₃=255，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P₁，P₂，…P_n存在的充要条件，并说明理由．