2009-2010学年湖南省长沙市同升湖实验学校高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

点P（cos2009°，sin2009°）落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

若向量的夹角为120°，且，，则有（ ）
A．
B．
C．‖
D．‖

3. 难度：中等

若不等式log_ax＞sin2x（a＞0，a≠1）对任意都成立，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（0，1）

4. 难度：中等

关于x的函数f（x）=sin（φx+φ），有下列命题：
①∀φ∈R，f（x+2π）=f（x）；
②∃φ∈R，f（x+1）=f（x）；
③∀φ∈R，f（x）都不是偶函数；
④∃φ∈R，f（x）是奇函数．其中假命题的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②④
D．②③

5. 难度：中等

若关于x的方程有两个不相等的实根，则实数K的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₄+a₈+a₁₂=120，则=（ ）
A．30
B．45
C．50
D．80

7. 难度：中等

在一次射击训练中，甲和乙独立的射击一个目标，甲能击中目标的概率是0.3，乙能击中目标的概率是0.6，甲和乙同时都击中目标才能胜利，则能胜利的概率是（ ）
A．0.18
B．0.42
C．0.82
D．0.12

8. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数，则函数f（x）的值域是    ；若f[f（x）]=2，则x=    ．

10. 难度：中等

方程x²-2mx+m²-1=0的两根都在（-2，+∞）内，则m的取值范围是     ．

11. 难度：中等

联想祖暅原理，计算曲线y=lnx与y=ln（x+1）以及y=±1所围成的封闭区域的面积为    ．

12. 难度：中等

设f（x）=ax-b，其中a，b为实数，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n=1，2，3，…，若f₇（x）=128x+381，则a+b=    ．

13. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n+a_n=n，n=1，2，…，则通项a_n=    ．

14. 难度：中等

设集合S={A，A₁，A₂，A₃，A₄}，在S上定义运算⊕为：A_i⊕A_j=A_k，其中K为i+j被5除的余数，i，j=0，1，2，3，4，则满足关系式（x⊕x）⊕A₂=A₁的x有    个．

15. 难度：中等

对曲线x⁴+y²=1的图象，下面四个命题：
①关于x轴、y轴对称；
②有且只有一个对称中心；
③封闭且面积大于π；
④封闭且面积于小π．其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（1）判定函数f（x）的单调性；
（2）设a＞1，证明：．

17. 难度：中等

△ABC内接于⊙O：x²+y²=1（O为坐标原点），且．
（1）求△AOC的面积；
（2）若，，求sinθ．

18. 难度：中等

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

19. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．

20. 难度：中等

一条斜率为1的直线ℓ与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线ℓ与y轴交于点R，且，，求直线与双曲线方程．

21. 难度：中等

设定义域在[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象为C，C的端点分别为A、B，M是C上的任一点，向量，若x=λx₁+（1-λ）x₂，记向量，现定义“函数y=f（x）在[x₁，x₂]上可在标准K下线性近似”是指恒成立，其中K是一个正数．
（1）证明：0≤λ≤1（2）；
（3）请你给出一个标准K的范围，使得[0，1]上的函数y=x²（4）与y=x³（5）中有且只有一个可在标准K下线性近似．