1. 难度:中等 | |
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,动点M在棱A1B1上. (1)求证:DM⊥AD1; (2)当M为A1B1的中点时,求CM与平面DC1所成角的正弦值; (3)当A1M=A1B1时,求点C到平面D1DM的距离. |
2. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=-2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP (1)当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程; (2)已知T(1,-1),设H是E 上动点,求|HO|+|HT|的最小值,并给出此时点H的坐标; (3)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线l1的斜率k的取值范围. |
3. 难度:中等 | |
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. (I) 求a、b的值,并写出切线l的方程; (II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围. |
4. 难度:中等 | |
设不等式|2x-1|<1的解集为M. (Ⅰ)求集合M; (Ⅱ)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小. |
5. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=x+,h(x)=. (Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程lg[f(x-1)-]=2lgh(a-x)-2lgh(4-x); (Ⅲ)设n∈Nn,证明:f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+…+h(n)]≥. |
6. 难度:中等 | |
设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性. |
7. 难度:中等 | |
设f(x)=x3+mx2+nx. (1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)的解析式; (2)如果m+n<10(m,n∈N+),f(x)在单调递减区间的长度是正整数,试求m和n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a) |
8. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. (I)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设a>0,证明:当0<x<时,f(+x)>f(-x); (Ⅲ)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x,证明:f′(x)<0. |
9. 难度:中等 | |
由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为( ) A. B.1 C. D. |
10. 难度:中等 | |
观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 |
11. 难度:中等 | |
观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72011的末两位数字为( ) A.01 B.43 C.07 D.49 |
12. 难度:中等 | |
(Ⅰ)设函数f(x)=ln(1+x)-,证明:当x>0时,f(x)>0; (Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为P.证明:P<<. |
13. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=2aln(1+x)-x(a>0). (I)求f(x)的单调区间和极值; (II)求证:(n∈N*). |
14. 难度:中等 | |
已知α1,α2,α3是三个相互平行的平面,平面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之前的距离为d2,直线l与α1,α2,α3分别相交于P1,P2,P3.那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 |
15. 难度:中等 | |
如图,在平面内直线EF与线段AB相交于C点,∠BCF=30°,且AC=CB=4,将此平面沿直线EF折成60°的二面角α-EF-β,BP⊥平面α, 点P为垂足. (Ⅰ) 求△ACP的面积; (Ⅱ) 求异面直线AB与EF所成角的正切值. |
16. 难度:中等 | |
曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线C过坐标原点; ②曲线C关于坐标原点对称; ③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2. 其中,所有正确结论的序号是 . |