2009-2010学年北京十五中高三（上）10月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若函数B（x_B，y_B）是函数y=log_ax（a＞0，a≠1）的反函数，其图象经过点，则f（x）=（ ）
A．
B．2^x
C．
D．3^x

2. 难度：中等

在下列命题中：①∀x∈R，x²+2＞0；②∀x∈N，x²≥1；③∃x∈Z，x³＜1；④∃x∈Q，x²=3．其中，真命题有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

函数y=2^|x-1|的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知不等式ax²-bx+c＜0的解集为{x|x＜2或x＞3}，则不等式bx²-ax-c＜0的解集为（ ）
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|x＜-3或x＞-2}
C．
D．

5. 难度：中等

若不等式x²+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（ ）
A．0
B．-2
C．
D．-3

6. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．

7. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下命题：
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．
下列选项正确的是（ ）
A．①
B．②
C．①③
D．②③

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数的定义域为R 则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知函数，若f（x）为奇函数，则a=    ．

11. 难度：中等

函数的值域为    ．

12. 难度：中等

设x∈（0，1），幂函数y=x^α的图象在直线y=x的上方，则α的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数y=log_a（ax²-x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

函数存在单调递减区间，则a的范围    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）当m=3时，求集合A∩B；
（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．
（1）求f（1）；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

17. 难度：中等

某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

19. 难度：中等

设函数f（x）=x³+bx²+cx+5，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）判断是否存在实数b，使得方程f（x）-b²x=0恰有一个实数根．若存在，求b的取值范围；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．