2009-2010学年湖南省长沙一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若log_a2＜0，2^b＞1，则（ ）
A．0＜a＜1，b＞0
B．a＞1，b＜0
C．a＞1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0

2. 难度：中等

如图，已知U是全集，A，B，C是U的非空子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．（A∩B）∩C
B．（A∩B）∪C
C．（A∩B）∩C_UC
D．（A∩B）∪C_UC

3. 难度：中等

sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（ ）
A．0
B．
C．
D．1

4. 难度：中等

函数f（x）=a|x-b|+2在[0，+∞）上为增函数，的充分必要条件是（ ）
A．a=1且b=0
B．a＜0且b＞0
C．a＞0且b≤0
D．a＞0且b＜0

5. 难度：中等

给出下列命题：①若a＞b，则＜；②∀x≠0，x²+≥2；③∀a，b，c∈R，|a-b|≤|a-c|+|b-c|．其中真命题的个数有（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

6. 难度：中等

如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为（1，-），那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．[0，）∪[，π）
C．[0，]∪[，π）
D．[，]

7. 难度：中等

已知x、y满足不等式组，则t=x²+y²+2x-2y+2的最小值为（ ）
A．
B．5
C．2
D．

8. 难度：中等

已知f（x）=ax²+bx+c （a＞0），α，β为方程f（x）=x的两根，且0＜α＜β，当0＜x＜α时，给出下列不等式，成立的是（ ）
A．x＜f（x）
B．x≤f（x）
C．x＞f（x）
D．x≥f（x）

二、填空题

9. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且a₇-2a₄=-1，a₃=0，则d=    ．

10. 难度：中等

定义运算：=a₁a₄-a₂a₃，则函数f（x）=的最大值是    ．

11. 难度：中等

已知函数y=a^x（a＞0，a≠1）的反函数是y=f^-1（x），若f^-1（m）+f^-1（n）=0，则m+n的最小值是    ．

12. 难度：中等

函数y=+的最大值为     ．

13. 难度：中等

如图，已知单位向量、与向量共面，且夹角分别
为和，设=-，则向量与的夹角是    ．

14. 难度：中等

矩形ABCD中，对角线AC与边AB、AD所成的角分别为a、b，则cos²a+cos²b=1．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，请应用类比推理，写出一个类似的结论：   

15. 难度：中等

对于函数f（x）=|x|³-x²+（3-a）|x|+b．
（1）若f（2）=7，则f（-2）=    ．
（2）若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2x²-2ax+b，f（-1）=-8．对∀x∈R，都有f（x）≥f（-1）成立；记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x-t|≤1}．
（I）当t=1时，求（C_RA）∪B．
（II）设命题P：A∩B≠空集，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．

17. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，锐角B满足．
（1）求的值；
（2）若，当ac取最大值时，求的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N*）．
（1）证明：数列{+（-1）ⁿ}是等比数列．
（2）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

已知函数f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，（n∈N*，且n＞1）．
（1）设函数h（x）=f₃（x）-F₂（x），x∈[-2，0]，求h（x）的最大值和最小值．
（2）若x＞-2求证：f_n（x）≥nx．

20. 难度：中等

现有甲、乙两个容器，分别盛有浓度为10%、20%的某种饮料各500ml．实验人员对它们进行调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100ml溶液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；…依照上述操作程序反复进行调和试验，记第n-1（n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度分别为a_n和b_n．
（1）试写出a₁和b₁的值．（2）依据调和程序，试用n表示甲、乙两个容器中两种饮料的浓度的差b_n-a_n．（3）试求出第n-1（n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度a_n、b_n关于n的表达式．

21. 难度：中等

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2．
（1）试求b、c满足的关系式．
（2）若c=2时，各项不为零的数列{a_n}满足4S_n•f（）=1，求证：＜＜．
（3）设b_n=-，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．