2008-2009学年浙江省杭州二中高三（下）3月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义集合A*B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B的子集个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的逆否命题是（ ）
A．若a-1≤b-1，则a≤b
B．若a＜b，则a-1＜b-1
C．若a-1＞b-1，则a＞b
D．若a≤b，则a-1≤b-1

3. 难度：中等

以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为（ ）
A．（x-2）²+（y+1）²=3
B．（x+2）²+（y-1）²=3
C．（x-2）²+（y+1）²=9
D．（x+2）²+（y-1）²=3

4. 难度：中等

函数的图象中相邻的两条对称轴之间的距离是（ ）
A．5π
B．2π
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=2^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；    
②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；    
④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确的命题是（ ）
A．.①③
B．②④
C．③④
D．①

7. 难度：中等

在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（ ）
A．充分非必要条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件

8. 难度：中等

对函数f（x）=2^x-|x²-1|-1的零点的个数的判断正确的是（ ）
A．有3个
B．有2个
C．有1个
D．有0个

9. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，，则a_n=（ ）．
A．2+lnn
B．2+（n-1）lnn
C．2+nlnn
D．1+n+lnn

10. 难度：中等

直线y=与双曲线=1（a＞0，b＞0）的交点在实轴上的射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

计算=    ．

12. 难度：中等

为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是    ．

13. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则s的取值范围是     ．

14. 难度：中等

若关于x的不等式ax²-6x+a²＜0的解集是（1，m），则m=    ．

15. 难度：中等

如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值的集合为    ．

16. 难度：中等

一个几何体的三视图如上图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形，则该几何体的体积为    ．

17. 难度：中等

设点O在△ABC的内部且满足：，现将一粒豆子随机撒在△ABC中，则豆子落在△OBC中的概率是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

如图A、B是单位圆O上的点，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，三角形AOB为正三角形．
（1）求sin∠COA；
（2）求|BC|²的值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是各项均为正数的等比数列，a₁=b₁=1且a₄+b₄=15，a₇+b₇=77．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求满足n•2ⁿ⁺¹-S_n＞90的最小正数n．

20. 难度：中等

如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²，其中a为实常数．
（1）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥-1，求a的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（x）+a（x²-3x）的最大值．

22. 难度：中等

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F作直线l与曲线C交于A、B两点．
（ⅰ）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明：MA⊥MB；
（ⅱ）是否在y轴上存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．